2. VaR 概念：在险价值的定义、置信水平与持有期
2.1 VaR 的定义
VaR（Value at Risk，在险价值） 是指在正常的市场条件下，给定置信水平和持有期，某一金融资产或投资组合可能遭受的最大预期损失。通俗地说，VaR 回答了一个问题：“在 95%（或 99%）的置信水平下，未来 N 天内最多会亏多少钱？”
核心思想： VaR 将复杂的市场风险浓缩为一个简单的数字，便于管理层和监管机构理解风险暴露程度。
2.2 置信水平与持有期
VaR 的两个关键参数决定了其数值大小和含义：
| 参数 | 定义 | 典型取值 | 对 VaR 的影响 |
|---|---|---|---|
| 置信水平 | 损失不超过 VaR 值的概率 | 95%、99%、99.9% | 置信水平越高，VaR 值越大（尾部风险更极端） |
| 持有期 | 计算 VaR 的时间窗口长度 | 1 天、10 天、1 个月 | 持有期越长，VaR 值通常越大（时间扩散效应） |
实践建议： 巴塞尔协议要求银行使用 99% 置信水平、10 天持有期计算市场风险资本要求。日常风控中，1 天 95% VaR 更常用于交易限额监控。
2.3 VaR 的数学表达式
设投资组合在持有期 Δt 内的损失随机变量为 L(Δt)，其累积分布函数为 FL(x)。则置信水平 α 下的 VaR 定义为：
VaR_α = inf{ x ∈ ℝ : P[ L(Δt) ≤ x ] ≥ α }等价于：
P[ L(Δt) ≤ VaR_α ] = α其中：
- α：置信水平（如 0.95 或 0.99）
- L(Δt)：持有期 Δt 内的损失（正值表示亏损）
- VaR_α：在 α 置信水平下的在险价值（正值）
直观理解： VaR 是损失分布上的一个分位数。例如，95% VaR = 100 万元，意味着有 95% 的把握未来 1 天损失不超过 100 万元；或者说，损失超过 100 万元的概率只有 5%。
2.4 VaR 的直观理解——损失分布图
下图展示了 VaR 在损失分布中的位置：
2.5 VaR 的三种计算方法
实际应用中，VaR 的计算主要有三种方法，各有优劣：
| 方法 | 原理 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 参数法（方差-协方差法） | 假设收益率服从正态分布，利用均值和标准差计算分位数 | 计算速度快，数据需求少 | 无法捕捉厚尾特征，低估极端风险 |
| 历史模拟法 | 直接使用历史收益率数据，取对应分位数 | 无需分布假设，能捕捉厚尾 | 依赖历史数据质量，对极端事件反应滞后 |
| 蒙特卡洛模拟法 | 随机生成大量价格路径，统计损失分布 | 灵活性强，可处理复杂衍生品 | 计算量大，模型风险高 |
重要提醒： VaR 虽然直观，但存在固有缺陷——它无法衡量“超过 VaR 的损失有多大”（尾部损失规模）。因此，实际风控中常配合 CVaR（条件在险价值） 或 压力测试 使用。
2.6 VaR 的数学表达式——分位数视角
从分位数角度，VaR 可以更简洁地表示为损失分布函数的逆函数：
VaR_α = F_L^{-1}(α)其中 FL-1 是损失累积分布函数的逆函数（分位数函数）。
对于正态分布假设下的简化计算：
VaR_α = μ + σ · Φ^{-1}(α)其中：
- μ：持有期内的预期损失（通常假设为 0）
- σ：持有期内的损失标准差
- Φ-1(α)：标准正态分布的 α 分位数（95% 对应 1.645，99% 对应 2.326）
实战案例： 某投资组合日收益率标准差为 2%，假设均值为 0，则 1 天 95% VaR = 0 + 2% × 1.645 = 3.29%。若组合价值 1 亿元，则 VaR = 329 万元。
2.7 VaR 的局限性总结
- 不满足次可加性： 组合的 VaR 可能大于各资产 VaR 之和，违背分散化原理
- 忽略尾部形状： 两个分布可能有相同的 VaR，但尾部风险截然不同
- 对持有期敏感： 时间尺度转换（如从 1 天到 10 天）需要平方根法则，但该法则假设收益率独立同分布，现实中常不成立
- 无法处理非流动性资产： 对于交易不频繁的资产，VaR 估计偏差较大