3. 相位匹配条件与非线性晶体参数
在SPDC（自发参量下转换）过程中，泵浦光子分裂为信号光子和闲频光子，能量守恒与动量守恒必须同时满足。能量守恒写作 ωp = ωs + ωi，而动量守恒在周期性介质中表现为相位匹配条件：kp = ks + ki + ΔkQPM。其中 k = 2πn(λ)/λ 为波矢，n 为对应波长的折射率。相位失配量 Δk 越接近零，转换效率越高；Δk 偏离时，转换效率按 sinc²(ΔkL/2) 迅速衰减。因此，相位匹配设计本质上是在晶体材料、切割角度、极化周期和工作温度之间寻找一组使 Δk≈0 的参数组合。
共线与非共线相位匹配
共线相位匹配中，泵浦、信号、闲频三束光沿同一方向传播，波矢方向一致，相位匹配条件退化为标量关系：np/λp = ns/λs + ni/λi（对QPM还需加上 2π/Λ 项）。共线结构的优点是空间模式单一、耦合效率高、易于光纤收集，适合对亮度要求高的纠缠源。非共线相位匹配中，信号与闲频以一定夹角相对泵浦传播，波矢满足矢量三角形关系。非共线结构的关键价值在于：通过选择收集角度，可以筛选出特定频率组合，从而调控纠缠带宽和频谱关联特性；同时，非共线配置下信号与闲频在空间上自然分离，便于分别收集和探测。在仿真中，非共线情形需要显式处理横向波矢分量，通常用角度 θs、θi 描述出射方向，并验证 kp² = ks² + ki² + 2kskicos(θs+θi) 的矢量闭合关系。
准相位匹配与极化周期
双折射相位匹配受限于材料的自然双折射，往往无法在目标波长处同时满足相位匹配和最大非线性系数。准相位匹配（QPM）通过周期性反转晶体的二阶非线性极化方向，引入倒格矢补偿相位失配：ΔkQPM = 2π/Λ，其中 Λ 为极化周期。一阶QPM的匹配条件为：
2πn_p/λ_p = 2πn_s/λ_s + 2πn_i/λ_i + 2π/Λ
即 1/Λ = n_p/λ_p − n_s/λ_s − n_i/λ_i以PPLN（周期极化铌酸锂）为例，假设泵浦波长 405 nm，信号与闲频在 810 nm 附近简并，室温下 np≈2.24、ns≈ni≈2.17（示例假设值），则 1/Λ ≈ 2.24/0.405 − 2.17/0.810 − 2.17/0.810 ≈ 5.531 − 2.679 − 2.679 ≈ 0.173 μm⁻¹，得到 Λ ≈ 5.8 μm。实际设计中极化周期通常在 5～20 μm 量级，需根据精确的Sellmeier色散模型迭代求解。极化周期的制造误差会直接转化为残余 Δk，仿真时应把 Λ 作为可扫描参数，观察转换谱随周期的漂移。
晶体折射率色散模型
相位匹配计算的核心输入是折射率色散关系。常用Sellmeier方程形式为：
n²(λ) = 1 + Σ B_i λ² / (λ² − C_i)其中 λ 以 μm 为单位，Bi、Ci 为材料系数。以5% MgO掺杂的PPLN为例，其非常光折射率可用一组Sellmeier系数描述（示例参数，实际应以所用晶体批次和温度适用范围为准）。仿真时需要注意三点：一是色散模型有温度适用范围，超出范围外推会引入误差；二是寻常光与非常光需分别建模，双折射相位匹配依赖两者的差异；三是温度依赖通常通过热光系数 dn/dT 修正，PPLN的 dne/dT 约为 3×10⁻⁵ K⁻¹ 量级。将这些模型封装为函数后，相位失配 Δk(λs, T, θ, Λ) 就成为可计算的标量目标函数。
温度与角度调谐
温度调谐利用热光效应改变折射率，从而移动相位匹配波长。对PPLN，温度升高使 ne 增大，简并波长通常向长波方向漂移，典型调谐斜率在 0.1～0.3 nm/K 量级（示例量级）。温度调谐的优点是无需机械调整、稳定性好，适合长时间运行的纠缠源；缺点是热惯性大、调谐速度慢，且晶体内部温度梯度会造成相位匹配展宽。角度调谐则通过旋转晶体改变光波与光轴的夹角，利用折射率椭球的方向依赖性改变有效折射率。角度调谐响应快，但需要精密转台，且角度变化会同时改变有效非线性系数和走离角。在仿真中，建议把温度和角度都作为扫描变量，绘制 Δk=0 的等高线，观察不同参数组合下的简并波长与带宽。
把上述关系落到仿真流程中，可以按以下顺序组织计算：先选定晶体材料与切割方式，载入对应温度下的Sellmeier系数；再设定泵浦波长、目标简并波长和极化周期初值；然后以信号波长为自变量计算 Δk，用求根算法找到 Δk=0 的波长；最后扫描温度或角度，记录匹配波长的移动量与转换带宽。判断结果是否合理，可以看三条依据：匹配波长是否落在探测器响应范围内、Δk 对温度的斜率是否与文献量级一致、以及 sinc² 包络的半高宽是否与晶体长度 L 相符（带宽约反比于 L）。若发现匹配波长对温度过于敏感或带宽异常宽，应优先检查色散模型是否选错偏振分量，以及极化周期是否与设计值存在偏差。