2. SPDC物理基础与纠缠光子产生机制
自发参量下转换（Spontaneous Parametric Down-Conversion，SPDC）是当前实验室制备纠缠光子对最成熟、最常用的技术手段。理解它的物理基础，是后续仿真建模与参数优化的前提。本节从能级关系、相位匹配条件出发，梳理类型I与类型II过程的差异，说明纠缠光子对的产生与关联特性，并给出典型实验装置与关键参数的实际含义。
一、三波混频的能级图像与能量守恒
SPDC属于二阶非线性光学过程。当一束频率为 ωp 的泵浦光入射到非线性晶体中，一个泵浦光子有一定概率“分裂”为两个低频光子，分别称为信号光（signal，ωs）和闲频光（idler，ωi）。从能级角度看，这是一个虚能级跃迁过程：泵浦光子先被虚拟吸收到高能虚能级，随即向下跃迁产生两个光子。由于虚能级不满足能量本征态条件，过程必须在极短时间内完成，因此能量守恒严格成立：
ω_p = ω_s + ω_i （能量守恒）
k_p = k_s + k_i （动量守恒，即相位匹配）能量守恒决定了输出光谱的分布范围，而动量守恒（相位匹配）决定了哪些频率组合、哪些发射方向能够高效产生。两者共同构成SPDC的“选择规则”。在仿真中，这两个条件分别对应频率简并约束和相位失配量 Δk 的计算，是参数扫描的核心约束。
二、相位匹配原理与两种实现方式
相位匹配要求泵浦光、信号光、闲频光的波矢满足矢量关系。由于晶体存在色散，不同频率光的折射率不同，直接满足 kp = ks + ki 通常很困难。工程上有两类解决方案：
- 双折射相位匹配（BPM）：利用各向异性晶体的双折射效应，让不同偏振方向的光感受到不同折射率，通过选择晶体切割角度或温度，使特定偏振组合满足相位匹配。常见晶体包括BBO、KDP、LiNbO₃等。
- 准相位匹配（QPM）：在铁电晶体（如PPLN）中周期性反转自发极化方向，每经过一个相干长度 Λ/2 就让非线性系数变号，从而补偿累积的相位失配。极化周期 Λ 由泵浦波长和温度共同决定，调谐灵活、转换效率高。
相位失配量 Δk = kp − ks − ki 是仿真中的关键中间量。Δk 越接近零，转换效率越高；Δk 偏离时，效率按 sinc²(ΔkL/2) 衰减，其中 L 为晶体长度。这一关系直接决定了晶体长度、泵浦带宽与输出光谱宽度之间的权衡。
三、类型I与类型II过程
按信号光与闲频光的偏振关系，SPDC分为两类：
| 对比项 | 类型I | 类型II |
|---|---|---|
| 偏振关系 | 信号光与闲频光偏振相同，且与泵浦光正交 | 信号光与闲频光偏振相互正交 |
| 典型配置 | e光泵浦 → o光 + o光（负单轴晶体） | e光泵浦 → o光 + e光 |
| 发射几何 | 围绕泵浦方向的圆锥，简并处两锥相切 | 两个正交偏振圆锥，交叉处产生偏振纠缠 |
| 纠缠类型 | 主要产生频率纠缠、动量纠缠 | 易于产生偏振纠缠，适合贝尔态制备 |
| 典型应用 | 高亮度预报单光子源、压缩态 | 偏振纠缠源、量子密钥分发、贝尔不等式检验 |
类型II的一个关键特征是：在信号光与闲频光圆锥的交叉方向上，无法区分光子来自哪个圆锥，偏振信息处于叠加态，从而形成偏振纠缠。实际实验中常通过半波片和偏振分束器对交叉方向的光子进行收集与投影测量。
四、纠缠光子对的关联特性
SPDC产生的光子对在多个自由度上存在关联：
- 时间关联：光子对在同一时刻产生，符合计数窗口内表现为强时间关联，符合计数与偶然符合之比（CAR）是衡量源质量的重要指标。
- 频率关联：满足 ωs + ωi = ωp，单光子光谱较宽，但联合光谱受相位匹配函数约束。
- 动量/方向关联：信号光与闲频光关于泵浦方向近似对称发射，成像面上呈现点对点关联。
- 偏振关联：类型II过程中，偏振投影测量结果呈现违背贝尔不等式的强关联。
这些关联特性是仿真中需要建模的输出量。例如，计算联合光谱密度 |f(ωs, ωi)|² 时，需要把泵浦光谱、相位匹配函数和晶体长度共同纳入。
五、典型装置与关键参数的实际含义
上图给出了一套典型的类型II SPDC纠缠源装置。泵浦光经透镜聚焦进入非线性晶体，在相位匹配条件下产生信号光与闲频光，两路光分别经透镜收集、窄带滤波后进入单光子探测器，最后由符合计数器统计关联事件。实际搭建与仿真时，需要重点关注以下参数：
- 泵浦功率与聚焦：功率影响计数率，但过高会引起多光子噪声；聚焦光斑需与晶体长度匹配，兼顾转换效率与空间模式质量。
- 晶体长度 L：L 增大提高效率，但相位匹配带宽变窄，联合光谱展宽受限，需在亮度与纯度间折中。
- 相位匹配角/温度/极化周期：决定输出中心波长与带宽，是仿真扫描的主要自变量。
- 滤波带宽：窄带滤波提升频率纯度，但降低计数率；仿真中常以高斯滤波函数建模。
- 符合窗口与CAR：符合窗口过宽引入偶然符合，CAR 下降；一般要求 CAR 大于 10 才能作为可用纠缠源。
需要强调的是，上述数值（如 405 nm 泵浦、2 mm 晶体、50 mW 功率、1 ns 符合窗口）属于教学示例中的合理假设，实际实验应根据晶体型号、镀膜条件与探测器性能重新标定。仿真模型的价值在于把这些参数之间的耦合关系显式化，使优化有据可依，而不是替代真实标定。