4. 分束器模型与变换矩阵

在HOM双光子干涉中，分束器（Beam Splitter, BS）是唯一真正“参与”量子干涉的光学元件。它把两路空间模式耦合起来，使两个光子的概率幅发生叠加。要定量分析干涉，必须先建立分束器的输入输出关系，并明确散射矩阵的相位约定。本节从理想分束器的物理约束出发，推导其变换矩阵，再讨论分束比与相位如何影响干涉结果。

一、理想分束器的输入输出关系

设分束器有两个输入端口 a₁、a₂ 和两个输出端口 b₁、b₂，对应湮灭算符分别为 â₁、â₂ 与 b̂₁、b̂₂。理想分束器是无损、线性的四端口器件，其输入输出关系可写成线性变换：

b̂₁ = t·â₁ + r·â₂
b̂₂ = r'·â₁ + t'·â₂

其中 t、r 为从端口1入射时的透射与反射系数，t'、r' 为从端口2入射时的对应系数。由于分束器无损耗，变换必须保持玻色对易关系 [b̂ᵢ, b̂ⱼ†] = δᵢⱼ，这要求矩阵是幺正的。对2×2复矩阵 U = [[t, r], [r', t']]，幺正条件 U†U = I 给出：

|t|² + |r'|² = 1
|r|² + |t'|² = 1
t*r + t'*r' = 0

若器件互易（无磁光效应），则 t' = t、r' = r，此时幺正条件进一步要求 |t|² + |r|² = 1，且 t*r + t r* = 0，即透射与反射系数相位相差 π/2。这正是分束器“透射与反射之间存在90°相位差”的来源，也是HOM干涉中相位约定的关键。

二、散射矩阵表示与常见相位约定

把输入输出写成矢量形式 b̂ = U â，则 U 即分束器的散射矩阵。最常用的两种约定是：

• 对称分束器约定：U = (1/√2)[[1, i], [i, 1]]，对应50:50分束，反射引入 i（即 π/2 相位）。
• 反对称约定：U = (1/√2)[[1, 1], [1, −1]]，反射引入 −1（即 π 相位），常用于理论推导中简化符号。

两种约定只差一个输出端口的相位重定义，物理结果（如符合计数）不变，但中间表达式的符号会不同。仿真时必须全程固定一种约定，否则会在相位扫描时得到平移或反相的干涉曲线。一般建议：以对称约定建模，因为它与多数商用分束器（如熔融石英立方体）的实际相位行为更接近。

对于分束比不为50:50的一般情况，可参数化写为：

U(θ) = [[cosθ, i·sinθ],
        [i·sinθ, cosθ]]

其中 cos²θ = T 为透射率，sin²θ = R 为反射率，T + R = 1。θ = π/4 即50:50。这一参数化把分束比与矩阵元素直接对应起来，便于在仿真中扫描。

三、分束比与相位对HOM干涉的影响

把两个光子分别从 a₁、a₂ 输入，初态为 |1,1⟩ = â₁†â₂†|0⟩。经过分束器后，输出态为：

|ψ_out⟩ = (t â₁† + r â₂†)(r' â₁† + t' â₂†)|0⟩
        = t r' |2,0⟩ + t t' |1,1⟩ + r r' |1,1⟩ + r t' |0,2⟩

对50:50对称分束器（t = t' = 1/√2，r = r' = i/√2），中间项系数为 t t' + r r' = 1/2 − 1/2 = 0，即 |1,1⟩ 项完全相消，输出只剩 |2,0⟩ 与 |0,2⟩ 的叠加——这就是HOM干涉的“聚束”现象：两个光子总是从同一端口成对输出，符合计数降为零。

若分束比偏离50:50，设 T = cos²θ、R = sin²θ，则中间项系数为 cos²θ − sin²θ = cos2θ，不再为零。此时符合计数概率为 P_coinc = |cos2θ|² = cos²2θ。可见分束比误差直接以 cos²2θ 的形式压低干涉可见度：T = 0.45 时 cos2θ ≈ 0.8，符合计数本底抬升到约0.64，干涉凹陷明显变浅。仿真中若观察到HOM凹陷底部不为零，应首先检查分束比标定是否准确。

相位的影响则体现在两路光程差上。在输出态中，|2,0⟩ 与 |0,2⟩ 两项的相对相位由分束器相位与外部光程差共同决定。当两路存在额外相位差 φ 时，符合计数变为 P_coinc ∝ 1 − V·cosφ 的形式（V 为可见度）。理想50:50分束器、完全不可区分光子时 V = 1，φ = 0 处出现完全凹陷；分束比失配或光子部分可区分都会使 V < 1，凹陷变浅但不改变凹陷位置。因此，凹陷深度反映分束比与光子不可区分度，凹陷位置反映光程相位，这是HOM仿真结果判读的基本依据。

四、仿真中的实现要点

在数值仿真中，建议按以下顺序搭建分束器模型：第一，用 θ 参数化矩阵，把分束比作为可扫描变量；第二，固定相位约定（推荐对称约定），并在代码注释中写明；第三，用幺正性做自检——计算 U†U 与单位矩阵的偏差，应小于 1e−12；第四，用单光子输入验证 |t|² + |r|² = 1，用双光子 |1,1⟩ 输入验证50:50时符合计数为零。这四步自检能排除绝大多数矩阵符号或归一化错误。

一个常见的仿真陷阱是：在扫描分束比时只改了矩阵元素而忘记重新归一化，导致总能量不守恒，符合计数出现虚假的“高于1”或负值。正确做法是始终用 θ 参数化，让 cos²θ + sin²θ = 1 自动成立。另一个陷阱是相位约定混用——前半段用对称约定、后半段换成反对称约定，会使相位扫描曲线整体平移 π，误判为“光程差标定错误”。

综上，理想分束器的核心是幺正散射矩阵，其透射与反射系数满足 |t|² + |r|² = 1 且相位相差 π/2。分束比通过 cos2θ 直接进入HOM符合计数表达式，决定干涉凹陷的深度；相位则决定凹陷的位置。把这两个参数在矩阵层面理清，后续的HOM干涉仿真与结果分析就有了可靠的数学基础。