2. 双光子干涉的物理基础

要理解 HOM 干涉为什么能成为量子光学中最具代表性的实验之一，必须先跳出“单光子干涉”的直觉。经典光学中，干涉来自同一束光在分束器两路之间的相位差；而 HOM 干涉的核心，是两个独立光子在同一分束器上“相遇”时，由于全同玻色子的量子统计规律，出现了一种经典波动光学无法解释的相消效应。本节从光子统计出发，依次建立二阶相干度、聚束与反聚束、以及 HOM 干涉量子本质的概念链条。

一、光子统计：从泊松分布到亚泊松分布

光子统计描述的是在给定时间窗口内探测到 n 个光子的概率分布 P(n)。它直接反映光源的量子性质，是区分相干光、热光与单光子源的第一把标尺。

• 相干光（激光）：光子到达服从泊松分布，方差等于均值，P(n)=e^−n̄n̄ⁿ/n!，表现为“随机但均匀”的到达。
• 热光（混沌光）：光子数服从玻色–爱因斯坦分布，方差大于均值，光子倾向于成团到达，即聚束。
• 单光子源：理想情况下每个时间窗口最多一个光子，P(0) 与 P(1) 占主导，方差小于均值，即亚泊松分布。

判断统计性质常用 Mandel 参数 Q = (⟨n²⟩−⟨n⟩²)/⟨n⟩ − 1。Q=0 对应泊松，Q>0 为超泊松（聚束倾向），Q<0 为亚泊松（反聚束倾向）。在仿真中，我们可以直接对探测时间序列做直方图统计，计算 ⟨n⟩ 与 ⟨n²⟩ 得到 Q 值，作为光源性质的快速判据。

二、二阶相干度 g⁽²⁾(τ)：光子“成对”出现的度量

光子统计的时域版本就是二阶相干度。它定义为

g⁽²⁾(τ) = ⟨I(t)I(t+τ)⟩ / ⟨I(t)⟩²

物理含义是：在 t 时刻探测到一个光子后，在 t+τ 时刻再探测到一个光子的条件概率相对于随机到达的增强倍数。对单模光场，可用产生湮灭算符写成 g⁽²⁾(τ)=⟨a†(t)a†(t+τ)a(t+τ)a(t)⟩/⟨a†a⟩²。三个典型值构成判据：

因此 g⁽²⁾(0)<0.5 通常被视为单光子源的重要判据。在 HOM 仿真中，g⁽²⁾ 不仅用于表征输入光源，还用于验证输出端口的量子统计是否被干涉改变。

三、聚束与反聚束：HOM 效应的统计根源

聚束（bunching）指光子倾向于同时到达同一探测器，热光在分束器输出端表现为 g⁽²⁾(0)=2 的增强；反聚束（antibunching）指光子相互排斥、避免同时出现，是量子光源的非经典标志。HOM 干涉正是玻色子聚束效应在双输入分束器上的直接体现：两个全同光子分别从两个输入端口进入 50:50 分束器时，它们“偏好”从同一输出端口成对离开，导致两个输出端口同时各出一个光子的符合计数下降。

四、HOM 干涉的量子本质与经典对比

设两个光子分别处于输入模式 a、b，分束器变换为

c = (a + b)/√2,  d = (a − b)/√2

当输入态为 |1⟩_a|1⟩_b 时，输出态为

|1⟩a|1⟩b → (|2⟩c|0⟩d − |0⟩c|2⟩d)/√2

注意中间项 |1⟩_c|1⟩_d 的系数恰好相消为零。这意味着两个全同光子绝不会分别从两个端口各出一个——符合计数为零，这就是 HOM 凹陷（HOM dip）。若两光子在到达分束器前存在时间延迟 τ 或频率、偏振差异，路径信息变得可区分，相消被破坏，符合计数回升。因此扫描 τ 得到的符合计数曲线呈 V 形凹陷，凹陷深度反映光子全同性，半高全宽与光子相干时间相关。

经典对比非常关键：若把两个光子换成两束相位随机的经典光脉冲，分束器输出符合计数不会出现这种相消，因为经典光不存在“两个光子不可区分”的量子统计约束。HOM 凹陷的深度与形状只能用量子态的全同性来解释，这正是它被称为“量子干涉”的原因。在仿真中，我们通常用 Hong–Ou–Mandel 型符合计数模型：符合概率 P_c(τ) ∝ 1 − V·exp[−(τ/τ_c)²]（高斯型谱）或类似形式，其中 V 为干涉可见度，τ_c 为相干时间。通过拟合仿真得到的符合计数曲线，可提取 V 与 τ_c，并与理论值对照判断仿真设置是否合理。

在仿真实现上，建议按以下顺序搭建：先用单模光子数态或脉冲波形定义两个输入光子，设置时间延迟 τ、频率差 Δω、偏振差异等可区分参数；再对分束器做幺正变换得到输出态；最后用探测器响应与符合逻辑统计 c、d 同时触发的次数。扫描 τ 从 −3τ_c 到 +3τ_c，即可得到 HOM 凹陷曲线。若 τ=0 时符合计数接近零、两侧回升至平台值，说明全同性设置正确；若凹陷变浅，应检查频率或偏振是否引入了路径信息。这一“设置—变换—统计—判读”的闭环，正是后续章节进行定量仿真与分析的基础。