3. 保真度评估的测量基础

要评估一个量子纠缠光源的保真度，前提是先把“光源实际制备出的量子态”测量出来。保真度本身只是一个比较量：F = Tr(ρ_idealρ_exp) 或更常用的平方根形式，它需要实验密度矩阵 ρ_exp 与目标态 ρ_ideal 同时已知。目标态由光源设计决定，而 ρ_exp 必须通过量子态层析（Quantum State Tomography，QST）从测量数据中重构。因此 QST 是保真度评估的测量基础，其完备性、统计误差与资源开销直接决定了保真度数值的可信度。

一、QST 的基本原理：从投影测量到密度矩阵

一个 d 维量子态的密度矩阵是 d×d 的厄米、半正定、迹为 1 的矩阵，独立实参数个数为 d²−1。以偏振纠缠光源最常用的双光子偏振态为例，每个光子是二维系统，两光子构成 d = 4 的希尔伯特空间，独立参数为 15 个。QST 的思路是：选取一组完备的投影测量基，对同一量子态的大量相同副本分别测量，得到各投影算符的期望值，再线性反演出密度矩阵。

对单光子偏振态，标准做法是在三个共轭基上测量：水平/垂直基 {|H⟩, |V⟩}、对角基 {|D⟩, |A⟩}、圆偏振基 {|R⟩, |L⟩}。每个基给出一个可观测量的期望值，对应泡利算符 σ_x、σ_y、σ_z。密度矩阵可写成 ρ = (I + aσ_x + bσ_y + cσ_z)/2，其中 a、b、c 就是三个基下测量得到的期望值。对双光子态，则需要在 9 个张量积基（3×3）上做符合测量，每个基下测 4 个投影组合，共 36 个投影计数。

二、测量算符的完备性

QST 能否唯一确定密度矩阵，取决于所选测量算符集合是否“完备”。数学上，一组投影算符 {Π_i} 完备的条件是它们张成整个厄米算符空间，即任意密度矩阵都能写成这些算符的线性组合。对 d 维系统，至少需要 d² 个线性无关的测量算符。单光子情形下，6 个投影（3 个基 × 2 个结果）足以覆盖 4 维空间；双光子情形下，36 个投影覆盖 16 维空间，满足完备性要求。

实际实验中常见的“不完备”陷阱包括：只测了 H/V 和 D/A 两个基而漏掉圆偏振基，此时 σ_y 分量无法确定，重构出的密度矩阵会出现系统性偏差；或者符合计数中某个投影组合计数过低被丢弃，导致测量矩阵秩亏。判断方法是对测量矩阵做奇异值分解，若最小奇异值接近零，说明该组测量不完备，需要补测。

三、最大似然估计重构密度矩阵

线性反演（直接求逆）得到的密度矩阵往往不满足半正定性，会出现负本征值，这在物理上不可能。最大似然估计（MLE）通过约束优化解决这个问题：寻找使测量数据出现概率最大的物理密度矩阵。设第 i 个投影的测量计数为 n_i，总计数 N = Σn_i，则似然函数为

L(ρ) = Π_i [Tr(Π_iρ)]^n_i

MLE 的标准参数化方式是 ρ = T†T / Tr(T†T)，其中 T 为下三角复矩阵，这样构造出的 ρ 自动满足厄米、半正定、迹为 1。优化变量是 T 的 d² 个实参数，用迭代算法（如 RρR 迭代或梯度下降）最大化对数似然。以双光子偏振态为例，T 是 4×4 下三角矩阵，含 16 个实参数，扣除归一化后 15 个自由参数，与理论一致。

一个可参考的教学示例（数值为合理假设，非实测）：设某偏振纠缠源目标态为 |Φ⁺⟩ = (|HH⟩+|VV⟩)/√2，在 9 个基下各累计约 2000 次符合计数，总计约 18000 次。经 MLE 重构后得到密度矩阵，其对角元 ρ_HH,HH ≈ 0.47、ρ_VV,VV ≈ 0.46，非对角元 ρ_HH,VV ≈ 0.44，其余元素接近零。据此计算与 |Φ⁺⟩ 的保真度约为 0.93。若不做 MLE 而直接线性反演，可能出现 ρ_HH,VV 的虚部异常或负本征值，保真度计算失去意义。

四、资源开销与误差来源

QST 的资源开销主要体现在三个方面。其一是测量基数量：d 维系统需要 d² 个投影，双光子偏振态需 36 个投影组合，若扩展到偏振+路径的 8 维态则需 81 个组合，测量时间成平方增长。其二是统计计数：每个投影的计数需足够大以压低泊松噪声，通常要求单投影计数在 10³ 量级以上，总测量时间随精度要求线性上升。其三是符合测量的死时间与探测器效率，会进一步拉长采集周期。

误差来源可分为统计误差与系统误差两类。统计误差来自有限计数，服从泊松分布，投影计数的相对不确定度约为 1/√n，它通过重构传播到密度矩阵各元素，最终反映为保真度的置信区间。系统误差则包括：测量基设置的角度偏差（如波片角度误差 0.5° 可引起约 1% 的保真度偏移）、探测器效率不匹配、背景计数与暗计数、以及光源本身在测量期间的漂移。后者尤其隐蔽——若光源功率或相位在 36 个投影的采集过程中缓慢漂移，各投影数据就不再对应同一量子态，重构结果会被“平均”成一个混合态，保真度被系统性低估。

从工程角度看，控制误差的关键在于：测量前用已知态（如 |HH⟩ 直积态）标定波片角度与探测器效率；采集时采用随机化基序而非固定顺序，把光源慢漂移平均成随机噪声而非系统偏差；每个投影的计数达到预设阈值后再切换基，避免低计数投影拉高整体不确定度。重构完成后，应同时报告保真度点估计与由泊松噪声传播得到的置信区间，仅给出一个 0.93 而不说明不确定度，无法支撑光源质量的严格比较。