4. 量子核的估计方法

在量子核分类器中，核函数 K(x, x′) 的数值决定了分类器把两个样本视为“相似”还是“不相似”。经典核可以直接用内积或高斯函数算出解析值，而量子核的困难在于：它被定义为两个量子态的内积平方，即 K(x, x′) = |⟨φ(x′)|φ(x)⟩|²，其中 |φ(x)⟩ 是由量子特征映射 U(x) 作用在初始态上得到的量子态。我们无法直接读取这个量子态，只能通过测量获得统计估计。因此，量子核的“计算”本质上是一个采样估计问题：设计一条量子线路，使某个可观测量的期望值恰好等于（或正比于）核函数值，再通过有限次测量（shots）估计该期望值。

本节围绕两条最常用的估计线路——Hadamard 测试与 SWAP 测试——说明它们各自估计什么、线路如何构造、结果如何从测量频率换算成核值，并分析估计误差与采样复杂度之间的关系。

一、Hadamard 测试：估计实部与“重叠”

Hadamard 测试（也称重叠测试）用于估计两个量子态的内积 ⟨φ(x′)|φ(x)⟩。其基本结构是：准备一个辅助量子比特处于 |0⟩，施加 Hadamard 门使其变为 (|0⟩+|1⟩)/√2；以辅助比特为控制，分别对两个寄存器施加特征映射 U(x) 与 U(x′)†（即先制备 |φ(x)⟩，再反向制备 ⟨φ(x′)|）；最后对辅助比特再施加一次 Hadamard 门并测量。测量得到辅助比特为 |0⟩ 的概率为

P(0) = (1 + Re⟨φ(x′)|φ(x)⟩) / 2，

于是实部可由 Re⟨φ(x′)|φ(x)⟩ = 2P(0) − 1 估计。若特征映射为实振幅（常见于角度编码、振幅编码的实数情形），内积为实数，则核函数 K = |⟨φ(x′)|φ(x)⟩|² 可直接由 (2P(0) − 1)² 得到。若内积含虚部，则需要额外的相位估计或采用 SWAP 测试的变体来获得模平方。

一个具体的教学示例：设两个样本经角度编码得到单量子比特态 |φ(x)⟩ = cos(x/2)|0⟩ + sin(x/2)|1⟩，取 x = 0.4π、x′ = 0.6π。则内积为 cos((x−x′)/2) = cos(−0.1π) ≈ 0.9511，理论核值 K ≈ 0.9045。若运行 Hadamard 测试 4096 shots，理论上辅助比特为 0 的期望次数约为 4096 × (1+0.9511)/2 ≈ 3996 次。实际运行会得到接近但略有波动的计数，例如 3990 次，则估计内积为 2×(3990/4096) − 1 ≈ 0.9482，核值约 0.8991。这一偏差正是采样噪声的体现，而非线路逻辑错误。

二、SWAP 测试：直接估计模平方

SWAP 测试专门用于估计 |⟨φ(x′)|φ(x)⟩|²，恰好就是量子核的定义式，因此它是量子核估计中最“对口”的线路。其结构为：辅助比特经 Hadamard 后，以它为控制，在两个寄存器之间施加受控 SWAP 门；再对辅助比特施加 Hadamard 并测量。测量辅助比特为 |0⟩ 的概率为

P(0) = (1 + |⟨φ(x′)|φ(x)⟩|²) / 2，

因此核值可直接由 K = 2P(0) − 1 估计，无需开方，也不受内积虚部影响。代价是受控 SWAP 门需要分解为多个受控两比特门，线路深度随寄存器比特数线性增长，在含噪声设备上更容易积累误差。实践中，若特征映射保证内积为实数，Hadamard 测试线路更浅、更省资源；若内积可能为复数或只关心模平方，SWAP 测试更直接。

三、从测量频率到核值：换算与误差

无论哪条线路，最终都归结为同一个统计问题：用 N 次测量中辅助比特为 0 的频率 p̂ = n₀/N 去估计真实概率 P(0)，再线性换算成核值。由于单次测量是伯努利试验，p̂ 的标准差为 √(P(0)(1−P(0))/N)。换算到核值上，Hadamard 测试的误差约为 2√(P(0)(1−P(0))/N)，SWAP 测试同理。最坏情况下 P(0)(1−P(0)) ≤ 1/4，因此核值估计的标准误差上界约为 1/√N。

这给出一个非常实用的经验法则：要把核值精度提高到 ε，shots 数量需按 1/ε² 增长。例如希望误差约 0.02，则 N 约需 2500；希望误差约 0.01，则 N 约需 10000。精度提高一倍，采样成本变为四倍。对于 M 个样本的分类任务，若采用核矩阵方法，需要估计 M(M+1)/2 个独立核元素（对称矩阵），总采样成本约为 M²/(2ε²)，这是量子核方法在小样本之外扩展时的主要瓶颈之一。

四、采样复杂度与工程取舍

采样复杂度之外，还要考虑线路复杂度。Hadamard 测试只需两次特征映射的受控版本，深度较浅；SWAP 测试的受控 SWAP 需分解为 O(n) 个受控两比特门（n 为寄存器比特数），深度和门数都更高，在近期含噪声设备上保真度损失更明显。因此工程上常见的策略是：优先选择内积为实数的特征映射，用 Hadamard 测试估计；若必须处理复数内积，再评估 SWAP 测试的噪声代价，或改用 Hadamard 测试配合额外相位线路。

另一个容易被忽视的误差来源是特征映射线路本身的噪声。采样误差随 N 增大而下降，但门噪声带来的偏差不会因增加 shots 而消失，反而会被更精确地“测出来”。实践中应先在小规模样本上比较不同 shots 下的核值波动，确认波动幅度与 1/√N 理论一致，再判断是否存在系统性偏差；若偏差明显超出统计范围，应优先检查线路深度、门保真度与读取误差，而不是盲目增加 shots。

综上，Hadamard 测试与 SWAP 测试分别对应“估计内积实部”和“直接估计模平方”两种需求，二者都把核函数计算转化为对辅助比特的伯努利采样。理解 P(0) 与核值的线性换算关系，以及 1/ε² 的采样标度，是在量子核分类器开发中合理分配 shots、控制误差并判断结果可信度的基础。