2. 量子核分类器的数学基础
量子核分类器并不是把经典核方法简单搬到量子硬件上，而是把“特征映射”这一步交给量子态制备：经典样本 x 被编码为一个量子态 |φ(x)⟩，两个样本的相似度由它们在希尔伯特空间中的内积模平方给出。要真正读懂并实现这一过程，必须先厘清四个层层递进的数学对象：希尔伯特空间、量子态、密度矩阵与核函数。本节按“空间—状态—混合状态—相似度”的顺序展开，并在每个环节给出可直接用于编程的表示方式。
一、希尔伯特空间：特征所在的复向量空间
量子力学中的状态生活在复希尔伯特空间 ℋ 中。对 n 个量子比特的系统，ℋ 是 2n 维复向量空间 ℂ2n，其元素写作列向量，内积定义为 ⟨ψ|φ⟩ = Σi ψi*φi。这个内积是后面一切核函数的源头：它天然满足共轭对称 ⟨ψ|φ⟩ = ⟨φ|ψ⟩*、正定性 ⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0，正是核函数所需的两条基本性质。
需要特别强调张量积结构。单比特空间 ℋ1 = ℂ2，两比特空间是 ℋ1 ⊗ ℋ1，维数相乘而非相加。这意味着量子特征映射的“特征维度”随比特数指数增长，这也是量子核相对经典核的潜在优势所在。在代码中，一个 2 比特态就是一个长度 4 的复向量，例如 |00⟩ 对应 [1,0,0,0]T，(|00⟩+|11⟩)/√2 对应 [1/√2, 0, 0, 1/√2]T。
二、量子态：纯态的向量表示与归一化
纯态用单位向量 |ψ⟩ 表示，满足 ⟨ψ|ψ⟩ = 1。全局相位 eiθ|ψ⟩ 与 |ψ⟩ 描述同一物理状态，因此态空间实际是希尔伯特空间中的射线。对单比特，最一般的纯态可写成 |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + eiφsin(θ/2)|1⟩，对应布洛赫球面上一点 (θ, φ)。
在量子核中，特征映射通常由参数化量子线路实现：对输入 x = (x1, x2) 施加旋转门 Ry(x1)、Rz(x2)，再插入纠缠层。以两比特为例，一个常见的角度编码线路为：
# 示例：两比特角度编码（示意参数，非实测）
# 输入 x = (x1, x2)，先对每个比特做 RY 编码，再用 CNOT 纠缠
qc.ry(x1, 0)
qc.ry(x2, 1)
qc.cx(0, 1)
qc.rz(x1 * x2, 1) # 引入特征交叉项
# 得到的态向量 psi(x) 即特征映射 phi(x)这里 x1 * x2 的交叉项是刻意设计的：它让特征映射包含二阶交互信息，从而在核函数中体现样本特征之间的乘积关系。实际实现时，应把线路作用于 |00⟩ 后取态向量，得到 4 维复向量作为 φ(x)。
三、密度矩阵：纯态与混合态的统一语言
纯态向量只适用于封闭系统。当系统与环境的纠缠不可忽略，或我们只掌握一个量子比特子系统的信息时，必须使用密度矩阵 ρ。纯态对应 ρ = |ψ⟩⟨ψ|，满足 ρ2 = ρ、Tr(ρ) = 1；混合态则是若干纯态的概率凸组合 ρ = Σk pk|ψk⟩⟨ψk|，此时 Tr(ρ2) < 1。密度矩阵是厄米的、半正定的、迹为 1 的算子。
密度矩阵在量子核中的价值在于两点。其一，若特征映射后只保留部分比特（例如测量前的子系统），则约化密度矩阵 ρA = TrB(ρAB) 才是该子系统的真实描述，此时核函数应改用 ρ 之间的相似度而非态向量内积。其二，含噪声的量子设备上制备的态并非纯态，用密度矩阵建模更贴近实际。常用的态相似度是保真度 F(ρ, σ) = (Tr√(√ρ σ √ρ))2，对纯态退化为 |⟨ψ|φ⟩|2。
四、核函数的定义与性质
核函数是一个二元函数 K(x, x′) = ⟨φ(x)|φ(x′)⟩，其模平方 |K|2 给出两样本在特征空间中的相似度。作为合法核（Mercer 核），它必须满足：对称性 K(x, x′) = K(x′, x)；以及半正定性，即对任意有限样本集，核矩阵 Kij = K(xi, xj) 是半正定矩阵。量子内积天然满足对称性，而半正定性来自 Gram 矩阵结构：Kij = ⟨φ(xi)|φ(xj)⟩ 正是特征向量的 Gram 矩阵，必然半正定。
实际计算时，量子核的估计依赖线路技巧。最直接的方式是制备叠加态 (|φ(x)⟩+|φ(x′)⟩)/√2 并测量，利用恒等式 |⟨φ(x)|φ(x′)⟩|2 = 2P0 − 1 反推，其中 P0 是测量得到全零结果的概率。另一种方式是 SWAP 测试：对两态做受控交换后测量辅助比特，得到 Tr(ρσ) 的估计。下面这张图把“样本→量子态→密度矩阵→核矩阵→分类”的完整数据流与关键公式对应起来，便于对照实现。
图中右侧的保真度分支提示了一个易错点：若特征映射后只保留子系统，核函数应写成 F(ρA(x), ρA(x′))，而不是直接对约化后的向量做内积——后者在混合态下没有定义。实现时建议统一用密度矩阵接口，纯态时自动退化为向量内积，避免两套代码路径不一致。
五、一个可手算的示例
设两比特特征映射为 φ(x) = RY(x)|00⟩，即只编码第一个比特，则 φ(x) = cos(x/2)|00⟩ + sin(x/2)|10⟩。取 x = 0、x′ = π，得 φ(0) = |00⟩，φ(π) = |10⟩，内积为 0，核值 K = 0，两样本在特征空间中完全正交。取 x = 0、x′ = π/2，则 φ(π/2) = (|00⟩+|10⟩)/√2，K = |1/√2|2 = 0.5。这个手算结果可直接用于验证代码：若程序对 (0, π/2) 返回 0.5，说明态制备与内积计算链路正确。注意此处 K 是内积模平方，若代码返回 0.7071 则说明漏了平方，属于常见实现错误。