3. 量子特征映射与核函数构造

在量子核分类器中，真正决定模型表达能力的并不是某个量子门本身，而是经典数据如何被编码进量子态。量子核方法的核心思想是：用一个量子特征映射 φ(x) 把经典样本 x 送入希尔伯特空间，再通过量子态的内积 ⟨φ(x)|φ(x′)|φ(x)⟩ 得到核值。因此，特征映射既是数据入口，也是核函数的“定义者”。本节围绕角度编码与振幅编码两种最常用的映射方式，讲清它们的构造、参数含义、实现细节与适用边界。

一、量子特征映射在核方法中的位置

经典核方法中，核函数 K(x, x′) 直接度量两个样本的相似度。量子核方法把这一步替换为：先制备量子态 |φ(x)⟩，再通过量子线路估计两个态的重叠。对 n 个量子比特，态空间维度为 2ⁿ，这意味着即使只有几十个量子比特，特征空间也极其庞大。特征映射的价值就在于：用可调、可重复的线路结构，把低维经典数据嵌入高维量子态，使核函数能够捕捉经典核难以表达的复杂相似性。

一个可用的特征映射需要满足三点：一是确定性，同一输入必须得到同一量子态；二是可微或可参数化，便于后续与变分线路结合；三是可实现，线路深度和门数在目标硬件上可控。下面两种编码方式分别对应不同的实现路径。

二、角度编码：把特征变成旋转角

角度编码（Angle Encoding）是最直观的方式：把每个经典特征映射为一个量子比特上的旋转角。以单量子比特的 RY 门为例，输入特征 xᵢ 经过缩放后作为旋转角 θᵢ = f(xᵢ)，作用在初始态 |0⟩ 上：

|φ(x)⟩ = RY(θ₁) ⊗ RY(θ₂) ⊗ … ⊗ RY(θₙ) |0…0⟩
其中 θᵢ = π · (xᵢ - minᵢ) / (maxᵢ - minᵢ)   （归一化到 [0, π]）

单比特 RY(θ)|0⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + sin(θ/2)|1⟩，因此每个特征控制一个比特的布洛赫球极角。若特征维度高于比特数，可采用数据重上传（Data Re-uploading）：在多层线路中反复用同一批特征做旋转，层间插入可训练的纠缠门或固定纠缠层，从而在有限比特上表达更丰富的函数。

角度编码的优点是线路浅、每层只需单比特门，硬件友好；缺点是每个特征占用一个比特，特征维度受比特数限制，且单层角度编码的核函数结构相对简单。实际实现时要注意缩放区间的选择：若把所有特征都压到 [0, π]，不同量纲的特征会被同等对待，通常需要先做标准化或按特征重要性调整缩放系数。

三、振幅编码：把特征变成态矢量分量

振幅编码（Amplitude Encoding）把归一化后的经典向量直接作为量子态的振幅：给定 x ∈ ℝ^N 且 ‖x‖ = 1，用 ⌈log₂N⌉ 个量子比特制备

|φ(x)⟩ = Σᵢ xᵢ |i⟩ ，  Σᵢ |xᵢ|² = 1

它的最大优势是指数级压缩：N 维数据只需 log₂N 个比特。例如 256 维特征只需 8 个量子比特。代价在于态制备：把任意经典向量加载为量子振幅需要专门的制备线路（如基于均匀旋转树、Schmidt 分解或变分近似的方法），线路深度通常远大于角度编码，且对噪声敏感。因此在当前含噪硬件上，振幅编码更适合中小规模、对线路深度容忍度较高的场景，或作为理论研究中的理想化映射。

实现时通常先用 L2 归一化把样本变为单位向量，再按二进制树逐层做受控旋转，把振幅“分配”到各基态上。若样本含负值，需要额外的符号处理（例如用附加比特或相位编码），这一点在构造核函数时必须与态制备方式保持一致，否则内积会失真。

四、两种编码方式的对比与选择

下图对比了两种映射在比特占用、线路深度、核函数形态和适用场景上的差异，可作为选型参考。

选型时可遵循一个简单原则：若比特数紧张、特征维度高，优先考虑振幅编码并接受更深的制备线路；若硬件噪声较大、希望线路浅且易于与变分层交替，角度编码更稳妥。两者也可以混合使用，例如对连续特征用角度编码、对类别型或分组特征用振幅编码。

五、从特征映射到核函数估计

有了映射，核值估计就变成量子线路上的重叠测量。最常用的方法是交换测试（Swap Test）：制备 |φ(x)⟩ 与 |φ(x′)⟩，通过受控交换门和辅助比特测量，得到

P(辅助比特 = 0) = (1 + |⟨φ(x)|φ(x′)⟩|²) / 2
⇒ K(x, x′) = |⟨φ(x)|φ(x′)⟩|² = 2·P(0) - 1

实际操作中需要多次采样（shots）来估计概率 P(0)，采样数 N 带来的统计误差约为 1/√N。例如取 4096 次采样，核值估计的标准差大致在 0.01～0.02 量级，对分类边界的影响通常可接受；若核值接近 0 或 1，误差会被放大，需要增加采样或做重复测量平均。另一种做法是把两个样本的映射线路拼接后直接测量，利用 |⟨φ(x)|φ(x′)⟩|² 与测量结果的关系估计核值，线路更浅但需要更细致的基变换设计。

构造核矩阵时，对训练集每个样本对 (i, j) 都要估计一次核值，得到对称矩阵 K。由于交换测试的线路对每个样本对都要重新制备态，整体开销随样本数平方增长，因此在小样本分类任务中更实用。工程上常把核矩阵缓存下来，训练阶段只做经典优化，避免重复调用量子线路。

六、编码选择对分类效果的影响

特征映射不是中立的预处理步骤，它直接改变了核函数的几何结构。角度编码产生的核函数与旋转角差的余弦相关，对周期性特征较敏感；振幅编码的核值等于两个归一化向量的内积平方，更接近线性核的量子版本。若数据本身具有明显的周期结构（如相位、角度类特征），角度编码往往更自然；若数据是高维稠密向量且维度远大于比特数，振幅编码的压缩优势更明显。

实践中建议把编码方式作为一个超参数来评估：固定分类器和训练集，分别用角度编码、振幅编码以及角度编码加数据重上传构造核矩阵，比较交叉验证准确率与核矩阵的条件数。条件数过大意味着核矩阵接近奇异，分类器对噪声敏感，此时应调整缩放系数、增加正则项或更换编码方式。通过这种对比，才能把“编码方式”从理论选择变成有依据的工程决策。