3. 量子特征映射中旋转门角度缩放因子的调参

为什么缩放因子会改变核矩阵的“形状”

在量子核方法中，经典样本 x 通过特征映射线路 U(x) 编码为量子态 |φ(x)⟩，核值定义为 K(x,x') = |⟨φ(x)|φ(x')⟩|²。若编码层使用 RY(θ) 或 RX(θ) 且角度取 θ = s·x_i，则缩放因子 s 直接控制样本在 Bloch 球上的展开程度：s 太小，所有样本态挤在一起，核矩阵接近全 1 矩阵，条件数极大；s 太大，角度在 2π 附近折叠，样本间相似度被周期性“混叠”，核矩阵出现近奇异结构。编码层重复次数 L 则通过多次旋转叠加，进一步放大或压缩这种展开。

实验设置：固定数据与下游核方法

为了让缩放因子与重复次数的影响可比较，先固定其余变量。使用二维两类合成数据（每类 40 个样本，类间有轻微重叠），下游采用量子核 + 支持向量机（QSVM）。核矩阵条件数 κ = λ_max / λ_min 用核矩阵特征值计算，泛化性能用 5 折交叉验证准确率衡量。编码线路采用 RY 旋转 + 环形 CNOT 纠缠，重复 L 层。

import numpy as np
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.model_selection import StratifiedKFold, cross_val_score
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler

# 1. 合成二维两类数据（示例数据，非实测）
rng = np.random.default_rng(7)
X0 = rng.normal(loc=[-0.6, -0.4], scale=0.45, size=(40, 2))
X1 = rng.normal(loc=[ 0.6,  0.5], scale=0.45, size=(40, 2))
X = np.vstack([X0, X1])
y = np.array([0]*40 + [1]*40)

# 缩放到 [0, 1]，使角度缩放因子 s 的物理含义清晰
X = MinMaxScaler().fit_transform(X)

# 2. 特征映射：RY(s*x) + 环形 CNOT，重复 L 层
def feature_map_state(x, s, L, n_qubits=2):
    """返回 2 量子比特态向量（复数），使用 numpy 模拟。"""
    # 单比特 RY 门
    def ry(theta):
        c, sn = np.cos(theta/2), np.sin(theta/2)
        return np.array([[c, -sn], [sn, c]], dtype=complex)
    # CNOT（q0 控制，q1 目标）
    cnot = np.array([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,1],[0,0,1,0]], dtype=complex)

    state = np.array([1,0,0,0], dtype=complex)  # |00>
    for _ in range(L):
        # 逐比特 RY
        g0 = np.kron(ry(s*x[0]), np.eye(2))
        g1 = np.kron(np.eye(2), ry(s*x[1]))
        state = g1 @ g0 @ state
        state = cnot @ state
    return state

def kernel_matrix(X, s, L):
    n = len(X)
    states = [feature_map_state(x, s, L) for x in X]
    K = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            K[i, j] = abs(np.vdot(states[i], states[j]))**2
    return K

def condition_number(K):
    eig = np.linalg.eigvalsh(K)
    eig = eig[eig > 1e-12]
    return eig.max() / eig.min() if len(eig) > 0 else np.inf

网格搜索：缩放因子 × 重复次数

在 s ∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.8, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0} 与 L ∈ {1, 2, 3} 上做网格搜索。对每组参数计算核矩阵条件数，并用预计算核矩阵的 SVC 做 5 折交叉验证。注意：交叉验证时核矩阵需按训练/测试索引切分，避免信息泄漏。

from sklearn.base import BaseEstimator, ClassifierMixin

class PrecomputedKernelSVC(BaseEstimator, ClassifierMixin):
    """使用预计算核矩阵的 SVC 包装器，便于 cross_val_score。"""
    def __init__(self, K, C=1.0):
        self.K = K
        self.C = C
    def fit(self, X_idx, y):
        self.model_ = SVC(kernel='precomputed', C=self.C)
        self.model_.fit(self.K[np.ix_(X_idx, X_idx)], y)
        return self
    def predict(self, X_idx):
        return self.model_.predict(self.K[np.ix_(X_idx, X_idx)])

results = []
idx = np.arange(len(X))
skf = StratifiedKFold(n_splits=5, shuffle=True, random_state=42)

for s in [0.1, 0.3, 0.5, 0.8, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0]:
    for L in [1, 2, 3]:
        K = kernel_matrix(X, s, L)
        kappa = condition_number(K)
        clf = PrecomputedKernelSVC(K, C=1.0)
        scores = cross_val_score(clf, idx, y, cv=skf, scoring='accuracy')
        results.append({
            's': s, 'L': L,
            'kappa': round(kappa, 2),
            'cv_acc': round(scores.mean(), 4),
            'cv_std': round(scores.std(), 4)
        })

# 按交叉验证准确率排序，展示前 6 组
results_sorted = sorted(results, key=lambda r: -r['cv_acc'])
for r in results_sorted[:6]:
    print(r)

结果判读与参数选择

典型输出会呈现如下规律（示例数据下的预期趋势）：

选择策略：优先在 κ 处于 10² 量级且 CV 准确率最高的参数组合中挑选；若多个组合准确率接近，选 L 较小者以降低线路深度和硬件噪声影响。对示例数据，s ≈ 1.0、L = 2 是兼顾条件数与泛化的合理选择。若换用真实数据，应重新执行上述网格搜索，并以实际 CV 结果为准，不可直接套用示例数值。