2. 变分量子线路ansatz深度与纠缠层数的调参选择

问题设定与硬件高效ansatz结构

本节固定量子比特数 n=4，目标哈密顿量取横场伊辛模型的一维链形式（示例设定）：

H = -J Σ_{i=0}^{n-2} Z_i Z_{i+1} - h Σ_{i=0}^{n-1} X_i,   J=1.0, h=0.8

我们要比较的 ansatz 是硬件高效型 TwoLocal 结构：每层由单比特旋转层 RY(θ) 加纠缠层组成，纠缠层采用环形 CX 连接（0-1,1-2,2-3,3-0），以模拟超导芯片上可实现的近邻耦合。可调结构参数有两个：

• reps：旋转+纠缠块的重复次数，决定线路深度；
• entanglement：纠缠层模式，取 "linear"（3 个 CX）或 "full"（6 个 CX，全连接对）。

参数总量由结构直接决定：num_params = n × (reps + 1)，与纠缠模式无关——这一点是理解“表达力 vs 参数预算”折中的关键。

可运行实现：构建、训练与网格比较

下面用 Qiskit 的 TwoLocal 与 StatevectorSampler 构建线路，用参数化期望值作为损失，采用 COBYLA 优化器在固定迭代预算下训练。所有结构参数在同一个循环里遍历，保证比较条件一致。

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit.library import TwoLocal
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp, Statevector
from scipy.optimize import minimize

n = 4
J, h = 1.0, 0.8

# 目标哈密顿量：横场伊辛链
terms = []
for i in range(n - 1):
    z = ["I"] * n
    z[i] = z[i + 1] = "Z"
    terms.append(("".join(z), -J))
for i in range(n):
    x = ["I"] * n
    x[i] = "X"
    terms.append(("".join(x), -h))
H = SparsePauliOp.from_list(terms)

def build_ansatz(reps, entanglement):
    return TwoLocal(
        num_qubits=n,
        rotation_blocks=["ry"],
        entanglement_blocks=["cx"],
        entanglement=entanglement,
        reps=reps,
        insert_barriers=False,
    )

def loss_fn(params, ansatz):
    qc = ansatz.assign_parameters(params)
    psi = Statevector(qc)
    return float(np.real(psi.expectation_value(H)))

def run_grid(reps_list, ent_list, maxiter=200, seed=7):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    results = []
    for reps in reps_list:
        for ent in ent_list:
            ansatz = build_ansatz(reps, ent)
            n_params = ansatz.num_parameters
            x0 = rng.uniform(-0.1, 0.1, n_params)
            res = minimize(
                loss_fn, x0, args=(ansatz,),
                method="COBYLA",
                options={"maxiter": maxiter, "tol": 1e-6},
            )
            results.append({
                "reps": reps,
                "entanglement": ent,
                "cx_count": ansatz.count_ops().get("cx", 0),
                "num_params": n_params,
                "loss": res.fun,
                "nfev": res.nfev,
            })
    return results

if __name__ == "__main__":
    rows = run_grid([1, 2, 3], ["linear", "full"])
    print(f"{'reps':>4} {'ent':>7} {'CX':>4} {'params':>7} {'loss':>10} {'nfev':>6}")
    for r in rows:
        print(f"{r['reps']:>4} {r['entanglement']:>7} {r['cx_count']:>4} "
              f"{r['num_params']:>7} {r['loss']:>10.4f} {r['nfev']:>6}")

运行方式：保存为 ansatz_grid.py，执行 python ansatz_grid.py。输出是一张 6 行的表，每行对应一个结构组合。注意 loss 是期望值（越小越好），nfev 是优化器实际调用损失函数的次数，用来判断是否在预算内收敛。

结果判读与结构选择

由于初始参数是随机采样、优化器是局部搜索，不同结构的结果会有波动，因此判读时不要只看单次最低损失，而应结合以下三点：

• 收敛性：nfev 接近 maxiter 说明优化未充分收敛，此时损失偏高不代表结构表达力不足，应先放宽预算再比较。
• 表达力：在相同 reps 下，full 纠缠的 CX 数约为 linear 的两倍，通常能更快降低损失，但线路更深、噪声敏感度更高。
• 参数预算：reps 每增加 1，参数数增加 4。若预算上限为 12 个参数，则 reps=2 是上限；此时 linear 与 full 参数数相同，应优先比较损失与 CX 数。

结构选择决策表（示例）

最终选择逻辑：先按预算筛掉参数超限的结构，再在剩余候选中比较训练损失；若损失差距小于重复实验的波动范围，则选 CX 数更少、reps 更小的结构，以降低硬件执行误差与训练成本。