4. 诱骗态强度与概率配置的密钥率优化

决策变量与密钥率的关系

在诱骗态 BB84 中，发送端每脉冲随机选择一种强度：信号态强度 μ（概率 p_μ）、弱诱骗态强度 ν（概率 p_ν）、真空态强度 0（概率 p_0，通常取 p_0 = 1 − p_μ − p_ν）。安全密钥率下界为

R ≥ q · [ −Q_μ f(E_μ) H₂(E_μ) + Q₁(1 − H₂(e₁)) ]

其中 Q_μ、E_μ 为信号态的增益与量子误码率，Q₁、e₁ 为单光子脉冲的增益与误码率，由 ν 与真空态的统计量估计得到。μ 增大可提高 Q₁ 的估计精度与计数率，但会抬高多光子比例；ν 过小则统计涨落大、估计方差高。因此存在一组使 R 最大的 (μ, ν, p_μ, p_ν)。

参数扫描程序实现

下面给出一个可直接运行的 Python 脚本。它用弱相干光源的增益/误码解析式构造物理模型，在四维网格上扫描 (μ, ν, p_μ, p_ν)，对每个组合计算安全密钥率下界，并输出最优配置。所有参数均为教学示例值，结果由给定输入直接推出，非实测数据。

import numpy as np
from itertools import product

# ---------- 1. 信道与探测器参数（示例值） ----------
alpha   = 0.2      # 光纤损耗 dB/km
L       = 50.0     # 传输距离 km
eta_det = 0.1      # 探测器效率
Y0      = 1e-6     # 暗计数率（每脉冲）
e_d     = 0.02     # 本底误码率
f_ec    = 1.16     # 纠错效率
q       = 0.5      # 基比对概率（BB84 取 1/2）

eta_ch = 10 ** (-alpha * L / 10.0)
eta    = eta_ch * eta_det

def H2(x):
    x = np.clip(x, 1e-12, 1 - 1e-12)
    return -x * np.log2(x) - (1 - x) * np.log2(1 - x)

# ---------- 2. 弱相干光源的增益与误码 ----------
def gain(mu):
    # Y0 为暗计数，1-(1-eta)^n 近似为 n*eta（小 eta 下）
    return Y0 + 1 - np.exp(-eta * mu)

def qber(mu):
    Q = gain(mu)
    return (Y0 * e_d + (1 - np.exp(-eta * mu)) * e_d) / Q

# ---------- 3. 单光子参数估计（ν 与真空态） ----------
def single_photon(nu, mu):
    Q_nu, E_nu = gain(nu), qber(nu)
    Q_0,  E_0  = gain(0.0), qber(0.0)
    # 标准诱骗态估计（简化下界）
    Q1_lb = (nu * mu / (mu - nu)) * (
        Q_nu * np.exp(nu) - Q_0 - (nu**2 / mu**2) * (gain(mu) * np.exp(mu) - Q_0)
    )
    e1_ub = (E_nu * Q_nu * np.exp(nu) - E_0 * Q_0) / (
        (nu * mu / (mu - nu)) * (Q_nu * np.exp(nu) - Q_0 - (nu**2/mu**2)*(gain(mu)*np.exp(mu)-Q_0))
    )
    return max(Q1_lb, 0.0), min(max(e1_ub, 0.0), 0.5)

# ---------- 4. 安全密钥率 ----------
def key_rate(mu, nu, p_mu, p_nu):
    Q_mu, E_mu = gain(mu), qber(mu)
    Q1, e1 = single_photon(nu, mu)
    R = q * (-Q_mu * f_ec * H2(E_mu) + Q1 * (1 - H2(e1)))
    return R

# ---------- 5. 四维网格扫描 ----------
mu_grid   = np.linspace(0.30, 0.80, 26)
nu_grid   = np.linspace(0.02, 0.20, 19)
pmu_grid  = np.linspace(0.50, 0.90, 21)
pnu_grid  = np.linspace(0.05, 0.30, 11)

best = {"R": -np.inf}
for mu, nu, p_mu, p_nu in product(mu_grid, nu_grid, pmu_grid, pnu_grid):
    if p_mu + p_nu > 0.95:
        continue
    R = key_rate(mu, nu, p_mu, p_nu)
    if R > best["R"]:
        best = {"R": R, "mu": mu, "nu": nu, "p_mu": p_mu, "p_nu": p_nu}

print("最优配置：")
for k, v in best.items():
    print(f"  {k:5s} = {v:.4f}")

结果判读与验证要点

• R 必须为正：若最优 R ≤ 0，说明当前距离/损耗下无法生成安全密钥，应缩短 L 或降低暗计数。
• μ* 与 ν* 的合理性：典型最优 μ 在 0.4–0.6、ν 在 0.05–0.15 之间；若 μ* 顶到网格边界，应扩大扫描范围。
• 概率约束：p_μ + p_ν 接近 0.95 时真空态概率过小，会削弱 Q₁ 估计的可靠性，可加约束 p_0 ≥ 0.05。
• 网格收敛性：将网格步长减半重跑，若最优 R 变化小于 1%，认为扫描已收敛。
• 物理一致性：检查 Q₁ ≤ Q_μ、e₁ ≤ 0.5，否则说明估计公式在边界处失效。