2. CV-QKD物理基础

连续变量量子密钥分发（CV-QKD）与离散变量协议最本质的区别，在于它用光场的正交分量（quadrature）承载信息，而不是单光子计数。要建立可用于仿真的物理模型，必须先把三件事说清楚：量子态用什么数学对象描述、探测器实际测量到什么、以及噪声如何标定。本节围绕这三条主线展开，为后续的密钥率计算与参数估计打下基础。

一、相干态与压缩态：两种典型高斯态

在CV-QKD中，最常用的信号态是相干态。相干态是最接近经典激光的量子态，其正交分量服从高斯分布，且两个正交分量的方差相等，均为真空涨落的一半（在散粒噪声归一化下记为 1）。用相空间表示时，相干态是一个各向同性的圆形不确定性斑，圆心位置由复振幅 α = x + ip 决定。Alice 通过调制 α 的幅度和相位来编码密钥信息，这就是高斯调制相干态协议（GG02）的基本出发点。

压缩态则是另一类重要高斯态。压缩操作使某一个正交分量的方差低于散粒噪声，而共轭分量的方差相应增大，以满足海森堡不确定性关系。相空间上，压缩态表现为一个椭圆：压缩方向变窄，反压缩方向变宽。压缩态在CV-QKD中可用于提升对噪声的容忍度，也是纠缠态制备与纠缠辅助协议的基础。需要强调，压缩态对信道损耗和额外噪声非常敏感，实际系统中压缩度的保持是工程难点。

两类态的共同点是：它们的 Wigner 函数都是高斯型，因此统称为高斯态。高斯态有一个极其重要的性质——在分束器、损耗信道、高斯噪声等高斯操作下，高斯态仍然是高斯态。这意味着整个CV-QKD链路（制备→信道传输→探测）都可以用有限几个参数（均值与协方差矩阵）完整描述，这正是仿真可以高效进行的根本原因。

二、高斯态表示：协方差矩阵

对于单模高斯态，仿真中不必追踪无限维的密度矩阵，只需记录相空间均值向量 d = (x̄, p̄) 和 2×2 协方差矩阵 γ。以正交分量 x̂ = â + â†、p̂ = (â − â†)/i 为基（ħ=2 约定，真空方差为 1），相干态的协方差矩阵为 γ = diag(1, 1)，压缩态为 γ = diag(e^{−2r}, e^{2r})，其中 r 为压缩参数。经过透过率 T、附加噪声 χ 的信道后，协方差矩阵按 γ → T·γ + (1−T)(1+χ)·I 演化。仿真时只需对协方差矩阵做线性变换，即可得到接收端 Bob 处的态，再结合探测效率与电噪声，就能计算互信息与 Holevo 界。

三、零差探测与外差探测

零差探测（homodyne）让信号光与一个同频强本振（LO）在 50:50 分束器上干涉，两路输出送入平衡探测器，差分电流正比于信号光在 LO 相位方向上的正交分量。一次零差测量只得到一个分量（例如 x），要测另一个分量需改变 LO 相位再测。其优点是噪声低、只需一个平衡探测器；缺点是测量基的选择需要随机切换，且对 LO 相位锁定要求高。

外差探测（heterodyne）则让 LO 与信号光存在固定频差，平衡探测输出的拍频信号包含两个正交分量的信息，经电子学下变频后可同时得到 x 与 p。外差探测一次测量获得两个分量，但代价是引入 3 dB 的额外噪声（相当于把真空噪声放大一倍），因此其信噪比低于零差。仿真中，零差对应测量算符 x̂，外差对应投影到相干态基，二者在互信息计算中的处理方式不同，必须分别建模。

四、散粒噪声与电噪声标定

所有探测结果都需要归一化到散粒噪声（shot noise）单位，否则不同实验之间无法比较。标定散粒噪声的标准做法是：遮挡信号光（只保留 LO），此时平衡探测器输出的方差即为散粒噪声参考 N₀。实际中 LO 功率波动、探测器共模抑制比不足都会使 N₀ 漂移，因此需要在每次测量前后重复标定。

电噪声 v_el 来自探测器暗电流、跨阻放大器与采集卡，其标定方法是完全断开 LO 与信号光（无光输入），记录探测器输出方差，再折算到散粒噪声单位。仿真中，Bob 端测得的总噪声方差应写为：

V_meas = η·T·(V_A + χ_line) + (1 − η)·N₀ + v_el
其中：V_A 为调制方差，χ_line 为信道附加噪声，
      η 为探测效率，N₀ 归一化为 1，v_el 为电噪声（散粒噪声单位）

一个合理的教学示例参数可取：V_A = 4（散粒噪声单位）、T = 0.5（约 3 dB 损耗）、χ_line = 0.02、η = 0.6、v_el = 0.05。代入可得 V_meas ≈ 0.6×0.5×(4+0.02) + 0.4×1 + 0.05 ≈ 1.206 + 0.4 + 0.05 ≈ 1.656。该结果说明：即便信道附加噪声很小，探测效率不足与电噪声仍会显著抬高总噪声，压缩安全密钥率。仿真时应把 η 与 v_el 作为独立可调参数，观察它们对信噪比和密钥率的敏感度。

把上述内容串起来，CV-QKD 的物理模型就清晰了：Alice 制备高斯态并用协方差矩阵描述，信道做线性高斯变换，Bob 用零差或外差探测得到含噪声的测量值，最后通过散粒噪声与电噪声标定把测量值折算回统一单位。这套模型既是理解协议安全性的基础，也是后续编写仿真代码时直接可用的数据结构。