4. 谐振子本征态的性质与图形化

量子谐振子的本征态由量子数 n = 0, 1, 2, … 标记，其波函数可以写成“高斯包络 × 厄米多项式”的形式：

ψ_n(x) = N_n · H_n(ξ) · e^−ξ²/2，其中 ξ = x/x₀，x₀ = √(ħ/mω) 是谐振子的特征长度，N_n 为归一化常数。

理解本征态的性质，关键抓住四个可观察特征：波函数的形状与零点、概率密度的分布、节点数、宇称。这四者并非彼此独立，而是由厄米多项式的阶数 n 统一决定：H_n(ξ) 是 n 次多项式，因此 ψ_n 有 n 个零点（节点），概率密度 |ψ_n|² 在这些位置取零；同时 H_n(−ξ) = (−1)ⁿH_n(ξ)，所以波函数具有确定的宇称 (−1)ⁿ——n 为偶数时偶宇称，n 为奇数时奇宇称。基态 n=0 无节点、偶宇称，概率密度是单峰高斯型；第一激发态 n=1 在原点有一个节点、奇宇称，概率密度呈双峰。随着 n 增大，波函数在经典允许区边缘振荡加剧，概率密度逐渐向经典概率分布靠拢——这正是对应原理的直观体现。

下面的图把 n=0 到 n=3 四个本征态的波函数与概率密度并排对照，同时标出节点位置、宇称符号和能级，便于把“节点数 = n”“宇称 = (−1)ⁿ”这两条规律与具体曲线对应起来。

从图中可以直接读出几条规律。第一，节点数严格等于量子数 n：基态曲线整体在轴上方，没有穿越；n=1 在原点穿越一次；n=2 穿越两次；n=3 穿越三次。第二，宇称由 n 的奇偶决定，偶 n 的波函数关于 ξ=0 对称，奇 n 的波函数关于原点反对称，因此奇宇称态在原点处概率密度必为零。第三，概率密度的峰数比节点数多一，且随着 n 增大，峰逐渐向两侧经典转折点附近集中，中心区域概率相对下降。

用 Python 绘制波函数与概率分布

实际计算时不必手写厄米多项式，scipy.special.hermite 或 numpy.polynomial.hermite.hermval 都能直接给出 H_n。下面这段代码以 m = ω = ħ = 1 的自然单位为例（此时 x₀ = 1），计算 n=0…3 的波函数与概率密度并绘图，同时打印每个态的节点数与宇称，便于与图形互相验证。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.polynomial.hermite import hermval

# 自然单位：m = omega = hbar = 1，特征长度 x0 = 1
x = np.linspace(-5, 5, 800)

def psi(n, x):
    coeffs = np.zeros(n + 1)
    coeffs[n] = 1.0                      # H_n 的最高次项系数置 1
    Hn = hermval(x, coeffs)              # 物理学家厄米多项式 H_n(x)
    norm = 1.0 / np.sqrt(2**n * np.math.factorial(n) * np.sqrt(np.pi))
    return norm * Hn * np.exp(-x**2 / 2)

fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 7))
for ax, n in zip(axes.flat, range(4)):
    y = psi(n, x)
    ax.plot(x, y, color='#1f6fb2', lw=2, label=r'$\psi_%d$' % n)
    ax.plot(x, y**2, color='#e07b39', lw=1.8, ls='--', label=r'$|\psi_%d|^2$' % n)
    ax.axhline(0, color='#8899aa', lw=0.8)
    # 数值找节点：符号变化处线性插值
    sign = np.sign(y)
    idx = np.where(np.diff(sign) != 0)[0]
    nodes = x[idx] - y[idx] * (x[idx+1] - x[idx]) / (y[idx+1] - y[idx])
    for xn in nodes:
        ax.axvline(xn, color='#d64545', lw=0.9, ls=':')
    parity = '偶' if n % 2 == 0 else '奇'
    ax.set_title(f'n={n}  节点数={len(nodes)}  宇称={parity}')
    ax.set_xlabel(r'$\xi = x/x_0$')
    ax.legend(fontsize=8, loc='upper right')
plt.tight_layout()
plt.show()

运行后应观察到：n=0 面板无红色虚线，n=1 有一条位于 ξ=0，n=2 有两条对称分布于原点两侧，n=3 有三条。若节点数与标题中的 n 不一致，通常说明厄米多项式的系数数组构造有误，或归一化因子漏掉了 √(2ⁿ n! √π) 中的某一项。宇称也可以通过数值检查：比较 ψ(−ξ) 与 ψ(ξ)，偶宇称两者相等，奇宇称两者互为相反数。

从图形到物理判断

把图形特征与可测量量联系起来，是本节的实际落点。节点位置对应波函数为零、概率密度为零的区域，粒子在这些位置出现的概率严格为零；概率密度的峰位则给出最可几位置。对基态，最可几位置在原点，与经典谐振子静止于平衡位置一致；对高激发态，最可几位置向转折点靠近，与经典粒子在端点附近速度慢、停留时间长的图像吻合。宇称则决定了跃迁选择定则：在电偶极跃迁中，只有宇称相反的态之间矩阵元才非零，因此 n 与 n±1 之间可以跃迁，而 n 与 n±2 之间被禁戒。图形上表现为相邻态波函数一奇一偶、乘积为奇函数，积分在对称区间上自然为零。

最后给出一个便于自查的对照表，把量子数、节点数、宇称、能级和最可几位置并列，绘图或计算完成后可逐行核对：

需要说明，表中“最可几位置”一栏对 n≥2 给出的是近似值，精确值需对 |ψₙ|² 求导并数值求解；教学时以图形峰位读取即可，不必追求解析表达式。掌握“节点数 = n、宇称 = (−1)ⁿ、峰数 = n+1、能级等间距”这四条对应关系，再配合一段可运行的绘图代码，就能把抽象的厄米多项式解转化为可观察、可核对的物理图像，为后续讨论态演化与叠加态打下基础。