3. 能谱与本征态解析求解

代数法（升降算符法）以对易关系和算符代数直接得到能谱，过程优雅但略显抽象。微分方程法则从波函数满足的定态薛定谔方程出发，通过变量代换把方程化为标准形式，解出厄米多项式，再结合波函数平方可积的边界条件得到量子化能级。两条路径殊途同归，恰好互为验证。本节以无量纲化后的谐振子方程为主线，完整走一遍求解流程，并把结果与代数法逐项对照。

一、无量纲化：把方程化为标准形

一维谐振子定态薛定谔方程为

-（ħ²/2m）d²ψ/dx² + （1/2）mω²x²ψ = Eψ

直接求解时量纲混杂，先引入无量纲坐标 ξ = x√(mω/ħ)，并令无量纲能量 ε = 2E/(ħω)。代入并整理后，方程化为

d²ψ/dξ² + （ε - ξ²）ψ = 0

这一步是微分方程法的关键：方程只含一个参数 ε，且形式对称。注意 ξ 与 x 同号，ξ 增大对应 x 增大，后文所有渐近行为和节点计数都以此坐标为准。

二、渐近行为与厄米多项式的引入

当 |ξ| → ∞ 时，ε 相对 ξ² 可忽略，方程近似为 ψ'' ≈ ξ²ψ，其可接受解为 ψ ~ e^-ξ²/2（另一支 e^+ξ²/2 发散，必须舍去，这正是平方可积边界条件的体现）。于是设

ψ（ξ） = H（ξ） e<sup>-ξ²/2</sup>

代回方程，得到 H 满足的厄米方程

H'' - 2ξH' + （ε - 1）H = 0

用幂级数 H = Σ a_kξ^k 求解，可得递推关系 a_k+2 = [（2k+1-ε）/（（k+1）（k+2））] a_k。若级数无限延续，其增长会压过 e^-ξ²/2 的衰减，导致 ψ 在无穷远发散。要保证平方可积，级数必须在某一项截断，即存在非负整数 n 使分子 2n+1-ε = 0。由此得到

ε = 2n + 1  ⟹  E<sub>n</sub> = （n + 1/2）ħω，  n = 0, 1, 2, …

截断后的多项式正是厄米多项式 H_n（ξ），前几个为 H₀=1，H₁=2ξ，H₂=4ξ²-2，H₃=8ξ³-12ξ。归一化后波函数为

ψ<sub>n</sub>（x） = N<sub>n</sub> H<sub>n</sub>（ξ） e<sup>-ξ²/2</sup>，  N<sub>n</sub> = （mω/πħ）<sup>1/4</sup> / √（2<sup>n</sup> n!）

可见能级离散并非额外假设，而是"波函数在无穷远必须衰减"这一物理要求逼出的数学结论，这是微分方程法最有说服力的地方。

三、低阶本征态的具体形式与判读

把前几个厄米多项式代入归一化表达式，得到（记 α = √(mω/ħ)，ξ = αx）：

ψ₀（x） = （α/√π）^½ e^(-α²x²/2)          —— 高斯型，无节点
ψ₁（x） = （α/√π）^½ √2 · αx · e^(-α²x²/2) —— 奇函数，1 个节点（x=0）
ψ₂（x） = （α/√π）^½ （1/√2）（2α²x²-1）e^(-α²x²/2） —— 偶函数，2 个节点

判读要点有三：其一，ψ_n 的宇称由 n 决定，n 为偶则偶宇称、n 为奇则奇宇称，因为 H_n 只含 ξ 的 n 次及以下同奇偶幂次；其二，节点数恰为 n，这是厄米多项式零点个数的直接结果，也是判断某个解析解是否对应正确量子数的快速依据；其三，基态 ψ₀ 没有节点，能量最低为 ħω/2，即零点能，微分方程法同样自然给出，无需额外引入。

四、与代数法的逐项对照

两法结果严格一致，并非巧合：代数法中 a† 作用一次使能量加 ħω，对应微分方程中幂级数多保留一项、厄米多项式阶数加一。理解这一对应关系，就能在两种语言间自由切换。

五、一个可动手核验的算例

取 m=1、ω=1、ħ=1 的示例单位（仅为教学假设，非实测数据），则 α=1，E_n=n+0.5。此时 ψ₁(x)=（1/π）^1/4√2·x·e^-x²/2。核验步骤：

1. 求二阶导并代入 ψ''+(ε-ξ²)ψ=0，验证 ε=3 时方程恒成立，对应 E₁=1.5；
2. 检查 x=0 处 ψ₁=0，节点数为 1，与 n=1 相符；
3. 计算 ∫|ψ₁|²dx 应等于 1，用于检验归一化常数 N₁ 是否正确；
4. 用代数法 a†|0⟩ 生成的一阶态展开后与上式比较，两者应完全一致。

微分方程法把"能级为什么离散"这一物理问题转化为"级数为什么必须截断"这一数学问题，答案清晰且可验证。掌握这条求解链后，后续讨论谐振子的相干态、含时演化以及微扰修正时，都能直接调用这里的波函数与能级结果作为基准。