2. 真空涨落量子随机数系统的物理基础

真空并不是“什么都没有”。在量子光学中，电磁场的真空态 |0⟩ 是每个模式都处于最低能级的状态，但它的电场算符期望值为零，并不意味着电场本身恒为零。更准确地说，真空态下电场正交分量的期望值为零，而方差不为零。这种不可避免的量子起伏，就是真空涨落，也是真空涨落量子随机数系统最根本的物理熵源。

要理解随机数从哪里来，需要依次看清四件事：真空态是什么、零-point 涨落如何进入正交分量、平衡零差探测怎样把量子起伏转换为可测光电流，以及为什么这种测量结果适合做随机性提取。下面按这条物理链条展开。

一、真空态与正交分量：随机性的量子起点

单模电磁场可以写成两个正交分量 X 和 P，它们类似经典谐振子的位置与动量，但满足量子化关系。若采用常见的归一化定义，令湮灭算符为 a，则

X = (a + a†)/√2
P = (a − a†)/(i√2)
[X, P] = i

这里采用 ħ=1 的归一化约定，X 与 P 是无量纲正交分量。对真空态 |0⟩，有 ⟨X⟩=0、⟨P⟩=0，但 ⟨X²⟩=⟨P²⟩=1/2，因此方差 Var(X)=Var(P)=1/2。换成散粒噪声单位，真空涨落的方差常记为 1（SNU，Shot Noise Unit）。这意味着：即使没有光子、没有外加信号，对 X 或 P 做单次理想测量，结果仍会落在零点附近的一个随机分布中，而不是固定值。

这一点对随机数系统至关重要：随机性不是由经典热噪声或技术噪声“制造”出来的，而是真空态本身在正交分量上的量子不确定性。理想情况下，真空态下 X 的测量结果服从均值为 0、方差为 1/2 的高斯分布；若用散粒噪声单位表示，则均值为 0、方差为 1。后续所有随机性提取，都是围绕这个高斯分布展开的。

二、平衡零差探测：把真空涨落搬到光电流上

真空态无法被光子计数器直接“看见”，因为真空态平均光子数为零。平衡零差探测（Balanced Homodyne Detection）的作用，是把待测模式的正交分量与一个强本振光（Local Oscillator，LO）在 50:50 分束器上干涉，再用两只匹配的光电二极管做差分探测。其核心结构如下：

设本振光振幅为 α，相位为 φ，待测信号模的正交分量为 X(φ)。在理想平衡零差探测中，差分光电流可写为

i(t) ∝ |α| · X(φ)

其中 X(φ) = X cosφ + P sinφ。当 φ=0 时，测得的是 X 分量；当 φ=π/2 时，测得的是 P 分量。若信号端输入的是真空态，则 X(φ) 的均值为 0、方差为 1/2，因此差分电流的均值也为 0，而其涨落方差正比于 |α|²·Var(X)。本振光越强，真空涨落被“放大”到光电流上的幅度越大，越容易超过电子学噪声；但本振光本身并不引入额外量子随机性，它只是把量子起伏搬运到可测尺度。

实际系统中，平衡零差探测的“平衡”非常关键。若两只光电二极管的响应度不一致、分束器分束比偏离 50:50、或两路光程不匹配，共模的经典强度噪声就无法被有效抵消，差分电流中会混入本振光强度起伏。此时测到的方差不再单纯来自真空涨落，随机数质量会下降。因此，共模抑制比（CMRR）和模式匹配效率是判断系统是否工作在量子噪声主导区的重要指标。

三、从连续高斯变量到随机比特：随机性提取的意义

平衡零差探测输出的是连续变量，例如 ADC 采样得到的一串整数。这些整数并不是可以直接使用的随机比特：它们带有偏置、相关性和非理想高斯分布，而且原始熵率通常低于 ADC 位数所暗示的熵。随机性提取（Randomness Extraction）的任务，就是把“有偏、有相关、但具有量子不可预测性”的原始样本，压缩成接近均匀、独立的随机比特串。

在真空涨落系统中，最小熵（min-entropy）是评估原始随机性的核心量。若 ADC 输出被量化为 m 位，理想零均值高斯分布在每个采样点上的最小熵约为

H_min ≈ log₂(√(2πe·σ²) / Δ)

其中 σ² 是采样前高斯分布的方差，Δ 是量化步长。这个式子说明：方差越大、量化越细，每个样本可提取的熵越多；但若电子学噪声或经典技术噪声占主导，σ² 中真正来自真空涨落的比例下降，实际可提取的量子随机性也会减少。因此，工程上常通过测量散粒噪声单位下的噪声功率来判断量子噪声是否占主导：当本振光开启、信号端遮挡时，差分噪声应随本振光功率线性增长，且外推至零光功率时接近电子学噪声底。

随机性提取通常分两步：先做熵估计，用最小熵给出原始样本中可证明的量子随机性下界；再做提取，用哈希函数（如 SHA-256、Toeplitz 矩阵或基于种子伪随机数的强提取器）把长原始序列压缩为短而均匀的比特串。提取后的比特串长度必须小于原始最小熵总量，否则安全性无法保证。例如，若每秒采集 10⁸ 个样本，每个样本保守估计最小熵为 2 bit，则每秒最多可提取约 2×10⁸ bit 的随机性；实际工程中还会留出安全余量，取 1.5×10⁸ bit/s 左右。

四、物理基础对系统设计的约束

真空涨落量子随机数系统的随机性来源决定了它的设计边界。首先，真空态的正交分量方差是固定的 1/2（归一化单位），不能通过“增强真空涨落”来增加熵；能改变的是本振光功率、探测效率和量化精度。其次，平衡零差探测的差分电流中，量子噪声与经典噪声是叠加的，只有量子噪声占主导时，提取出的随机性才具有量子起源。第三，本振光的相位 φ 决定了测量的是 X 还是 P，但无论测哪个分量，真空态下两者的方差相同，因此随机性来源不依赖于相位选择；相位控制主要影响的是信号模的投影方向，在真空输入时并不改变熵率。

从系统角度看，真空涨落提供的是“不可预测的物理随机源”，平衡零差探测提供的是“低噪声、可校准的读出通道”，随机性提取提供的是“从有偏连续变量到均匀比特的数学压缩”。三者缺一不可：没有真空涨落，就没有量子随机性；没有平衡零差探测，就无法低噪声地读出正交分量；没有随机性提取，原始采样就不能直接作为密钥或随机数使用。理解这条物理链条，是后续设计光源、探测器、采集电路和提取算法的前提。