3. 信息论基础

连续变量量子密钥分发（CV-QKD）的安全性最终由信息论量来刻画。香农熵描述经典随机变量的不确定性，冯·诺依曼熵把这一概念推广到量子态，互信息刻画双方共享了多少信息，Holevo界则给出窃听者从量子态中最多能提取多少经典信息。安全密钥率正是这些量之间的“减法”结果：合法双方获得的信息，减去窃听者可能掌握的信息。

香农熵与互信息：经典信息量的度量

设离散随机变量 X 的概率分布为 p(x)，其香农熵定义为 H(X) = −Σ p(x) log₂ p(x)，单位为比特。熵越大，X 的不确定性越高。对于连续变量，需用微分熵 h(X) = −∫ p(x) log₂ p(x) dx，它可为负值，因此单独使用没有绝对意义，只有在差值中才有信息论含义。

两个变量 X 与 Y 的联合不确定性由联合熵 H(X,Y) 描述，条件熵 H(X|Y) 表示已知 Y 后 X 剩余的不确定性。互信息定义为：

I(X;Y) = H(X) − H(X|Y) = H(Y) − H(Y|X)

它衡量 Y 提供了多少关于 X 的信息。在 CV-QKD 中，Alice 发送 X，Bob 收到 Y，I(X;Y) 就是双方在经典层面可提取的原始相关信息量。若信道为加性高斯白噪声信道，且 X 服从方差为 V_A 的高斯分布，噪声方差为 σ²，则：

I(X;Y) = ½ log₂(1 + V_A/σ²)

这一表达式说明：信号方差越大、噪声越小，互信息越高。但互信息只描述“双方之间”，并不涉及窃听者。

冯·诺依曼熵与量子互信息

量子态 ρ 的冯·诺依曼熵定义为 S(ρ) = −Tr(ρ log₂ ρ)。它是密度矩阵本征值的香农熵，刻画量子态本身的混合程度。纯态的熵为零，最大混合态的熵最大。对于复合系统 AB 的联合态 ρ_AB，量子互信息为：

I(A;B) = S(ρ_A) + S(ρ_B) − S(ρ_AB)

其中 ρ_A = Tr_B(ρ_AB)、ρ_B = Tr_A(ρ_AB) 为约化密度矩阵。量子互信息可以超过任何经典关联所能解释的范围，这正是量子密钥分发安全性的来源之一。在 CV-QKD 中，Alice 与 Bob 的联合量子态通常为双模压缩态或相干态经信道演化后的高斯态，其协方差矩阵完全决定了熵与互信息。

Holevo界：窃听者能获得多少信息

当窃听者 Eve 截获量子态集合 {ρ_x, p_x} 时，她能获得的经典信息上限由 Holevo 界给出：

χ = S(Σ_x p_x ρ_x) − Σ_x p_x S(ρ_x)

Holevo 界指出，从单个量子态中可提取的经典信息不超过 χ。对于高斯态，χ 可由协方差矩阵计算。在 CV-QKD 安全分析中，Eve 的 Holevo 信息 χ(BE) 或 χ(AE) 是评估窃听能力的关键量。若 Bob 的探测数据为 Y，Eve 持有量子态 E，则 Bob 与 Eve 之间的 Holevo 信息为：

χ(B;E) = S(ρ_E) − Σ_y p(y) S(ρ_E|y)

安全密钥率的下界通常写为：

K ≥ I(A;B) − χ(A;E)

或等价地 K ≥ I(A;B) − χ(B;E)，具体取决于反向协调或正向协调协议。这一不等式是 CV-QKD 安全性的核心框架：只要合法双方的互信息严格大于窃听者的 Holevo 信息，就能提取出安全密钥。

量子信道容量与安全密钥率的关系

量子信道容量描述信道在无窃听条件下可靠传输量子或经典信息的极限。对于高斯量子信道，经典容量与量子容量有明确表达式。但在 QKD 中，信道容量并非直接目标，因为 Eve 可能持有信道的“环境”部分。安全密钥率可视为在窃听者存在条件下，合法双方仍能提取密钥的速率。它通常低于信道容量，因为必须扣除 Eve 的信息。

在集体攻击下，CV-QKD 的安全密钥率可写为：

K = β I(A;B) − χ(A;E)

其中 β ∈ (0,1] 为协调效率，反映实际纠错协议达到互信息上限的程度。β 越接近 1，纠错越高效，密钥率越高。χ(A;E) 则取决于信道透射率 T、过噪声 ξ 以及调制方差 V_A。典型的高斯信道下，χ(A;E) 随 T 降低或 ξ 增大而增大，导致密钥率下降甚至归零。

从公式到工程判断：一个示例

假设某 CV-QKD 系统采用高斯调制相干态协议，Alice 的调制方差 V_A = 4（散粒噪声单位），信道透射率 T = 0.5，过噪声 ξ = 0.01（散粒噪声单位），协调效率 β = 0.95。在反向协调下，Bob 端等效噪声方差约为 σ² = 1 + T·ξ + (1−T)·V_A 的某种组合，具体取决于探测模型。若按简化估算，I(A;B) ≈ ½ log₂(1 + T·V_A / (1 + T·ξ + ε))，其中 ε 为探测附加噪声。代入数值可得到 I(A;B) 约为 1.2 bit/符号。Eve 的 Holevo 信息 χ(A;E) 在 T = 0.5、ξ = 0.01 时约为 0.6 bit/符号。则 K ≈ 0.95 × 1.2 − 0.6 ≈ 0.54 bit/符号。若过噪声升至 0.05，χ(A;E) 可能升至 0.9 bit/符号，此时 K ≈ 0.95 × 1.2 − 0.9 ≈ 0.24 bit/符号，密钥率显著下降。当 χ(A;E) 超过 β·I(A;B) 时，K ≤ 0，系统无法生成安全密钥。

信息论框架的实践意义

理解这些量之间的关系，有助于在系统调试中快速定位问题。若密钥率偏低，可从三个方向排查：一是 I(A;B) 是否因噪声过大而下降，检查信道透射率和过噪声；二是 χ(A;E) 是否因 Eve 信息估计过高而偏大，检查是否采用了过于保守的信道模型；三是 β 是否因纠错码性能不足而偏低，检查协调算法的效率。三者中任何一个环节恶化，都会直接压缩安全密钥率。

此外，Holevo 界和量子信道容量给出了理论极限，而实际系统受限于探测器效率、电子噪声、有限码长效应等因素，密钥率通常低于理论值。在有限码长下，还需引入有限码长修正项，进一步降低密钥率。因此，信息论框架不仅是安全性证明的基石，也是工程优化中判断系统是否达到预期性能的标尺。