2. 量子光学基础

连续变量量子密钥分发（CV-QKD）的信息载体不是单光子计数，而是光场正交分量（quadrature）的连续取值。要理解协议为什么这样设计、窃听为什么能被检测，必须先建立一套量子光学的语言：态怎么描述、测量怎么发生、噪声从哪里来。本节围绕五个核心概念展开，并说明它们在 CV-QKD 中的具体角色。

一、从光子数态到相干态：激光为什么不是“确定光子数”

单模光场的哈密顿量可写成 H = ħω(a†a + 1/2)，其中 a、a† 是湮灭与产生算符。福克态（Fock态）|n⟩ 是光子数算符 n̂ = a†a 的本征态，满足 n̂|n⟩ = n|n⟩，光子数完全确定，但相位完全不确定。福克态在量子光学中地位基础，却很难在 CV-QKD 中直接用作载波，因为理想激光器输出的是相干态。

相干态 |α⟩ 是湮灭算符的本征态：a|α⟩ = α|α⟩，复振幅 α = (x + ip)/2（此处采用 ħ=1、x = (a + a†)/√2、p = -i(a - a†)/√2 的约定，全文与图示保持一致）。相干态的光子数服从泊松分布，平均光子数 ⟨n⟩ = |α|²。例如平均光子数 |α|² = 10 时，光子数标准差约为 √10 ≈ 3.16，说明即使“平均功率”稳定，单次探测到的光子数仍有明显涨落。这正是 CV-QKD 使用零差/外差探测而非光子计数的原因：它测量的是振幅的连续值，而不是离散光子数。

二、压缩态：把噪声“挤”到一侧

相干态在两个正交分量上的不确定度是对称的，满足最小不确定关系 Δx·Δp = 1/2（ħ=1）。压缩态通过压缩算符 S(ξ) = exp[(ξ*a² - ξa†²)/2] 作用，使某一正交分量的方差低于散粒噪声极限，代价是另一分量方差增大。设压缩参数 r，则 Δx² = e^{-2r}/2、Δp² = e^{2r}/2。当 r = 1 时，Δx² ≈ 0.0677，比相干态的 0.5 低约 8.7 dB。

在 CV-QKD 中，压缩态可用于提升信噪比或构造纠缠源。例如 EPR 纠缠对可由两个压缩态在分束器上干涉产生，其两模正交分量满足 x₁ - x₂ → 0、p₁ + p₂ → 0 的关联。实际系统中压缩度受损耗、相位抖动和探测器效率限制，典型可观测压缩约 3～10 dB，这一数值直接决定协议的安全码率上限。

三、相空间与 Wigner 函数：把量子态画成“准概率分布”

相空间以 x 为横轴、p 为纵轴，把光场状态表示为二维分布。Wigner 函数 W(x,p) 是最常用的准概率表示，其边缘分布分别给出 x 和 p 的测量概率密度：

∫ W(x,p) dp = P(x)
∫ W(x,p) dx = P(p)

相干态 |α⟩ 的 Wigner 函数是中心在 (x₀, p₀) 的高斯圆斑，方差为 1/2；压缩态的 Wigner 函数是椭圆，短轴方向噪声被压缩；福克态 |n⟩ 的 Wigner 函数则出现负值区域，这是非经典性的直接标志。热态的 Wigner 函数是中心在原点的较宽高斯分布，方差为 1/2 + n̄，其中 n̄ 为平均热光子数。

对 CV-QKD 而言，Wigner 函数的价值在于：高斯态在相空间中被完全刻画，只需协方差矩阵和均值即可描述；而零差探测得到的电流分布，正是 Wigner 函数沿某一方向的边缘分布。因此，实验上通过扫描本地振荡器相位 θ，测量 x_θ = x cosθ + p sinθ 的方差，就能重构出 Wigner 函数的关键参数。

四、非正交测量：为什么不能“完美区分”两个量子态

量子态的非正交性是量子密钥分发安全性的根源之一。两个相干态 |α⟩ 与 |-α⟩ 的内积为 ⟨α|-α⟩ = exp(-2|α|²)。当 |α|² = 0.5 时，内积约为 e^{-1} ≈ 0.368，远不为零，说明这两个态无法被确定性地区分。任何测量策略都只能以一定错误概率区分它们，这一极限由 Helstrom 界给出：

P_err ≥ (1 - √(1 - |⟨α|-α⟩|²)) / 2

代入 |α|² = 0.5，得 P_err ≥ (1 - √(1 - 0.135)) / 2 ≈ 0.035，即最优策略下错误率仍不低于约 3.5%。在 CV-QKD 中，Bob 通常采用零差或外差测量，而非最优 Helstrom 测量，因此实际错误率更高。这也解释了为什么协议需要后处理中的纠错与隐私放大：测量本身无法消除非正交性带来的信息模糊。

此外，非正交测量还决定了窃听者 Eve 能获取多少信息。若 Eve 采用分束攻击，她截获一部分信号光，剩余部分透射给 Bob。Eve 获取的信息量与她的分束比、以及她自身测量策略有关，而 Bob 端观测到的额外噪声会上升。Alice 与 Bob 通过比较一部分密钥的误码率（QBER）和协方差矩阵，可以估计 Eve 的信息量，并据此计算安全码率。

五、把五个概念串起来：CV-QKD 中的实际参数与判断

在一个典型的 GG02 协议（高斯调制相干态）中，Alice 从高斯分布中采样 x_A, p_A，均值为 0，方差为 V_A。她将 α = (x_A + i p_A)/2 调制到光场上发送给 Bob。Bob 随机选择测量 x 或 p，得到 x_B 或 p_B。理想无噪声信道下，x_B = x_A；实际信道存在损耗 η 和过噪声 ξ，Bob 端方差为：

V_B = η·V_A + (1 - η)·V_0 + ξ

其中 V_0 = 1/2 为散粒噪声方差（ħ=1 约定）。例如取 V_A = 4、η = 0.5、ξ = 0.05，则 V_B = 0.5×4 + 0.5×0.5 + 0.05 = 2.3。Bob 端信噪比约为 η·V_A / (1 + ξ) ≈ 1.9，对应约 2.8 dB。若过噪声 ξ 超过安全阈值（在典型参数下约为 0.1～0.2），则无法生成安全密钥。

判断流程可以概括为：先通过零差测量得到 x_B 的分布，估计 V_B；再与 Alice 公开的 V_A 比较，反推 η 和 ξ；最后代入安全码率公式，判断是否大于零。若大于零，则继续执行纠错和隐私放大；否则丢弃本轮数据。这一闭环把 Wigner 函数、压缩态噪声、非正交测量极限全部落到可观测的电流方差和误码率上。