3. 分束器模型与输入输出关系

在Hong-Ou-Mandel（HOM）干涉实验中，分束器（Beam Splitter, BS）是唯一真正参与干涉的核心光学元件。它把两路输入光场耦合到两路输出光场，其散射矩阵决定了反射与透射的振幅、相位以及两光子路径不可区分时的干涉符号。理解分束器的输入输出关系，是理解HOM干涉“为什么会出现符合计数凹陷”的前提。

一、理想分束器的散射矩阵

一个理想无损分束器有两个输入端口和两个输出端口。设输入端口模式算符为 a₁, a₂，输出端口模式算符为 b₁, b₂，则线性关系可写为：

b₁ = r·a₁ + t·a₂
b₂ = t·a₁ + r·a₂

其中 r 为反射系数，t 为透射系数。对于理想无损分束器，能量守恒要求 |r|² + |t|² = 1，同时散射矩阵必须是幺正的。若写成矩阵形式：

⎡b₁⎤   ⎡ r  t ⎤ ⎡a₁⎤
⎢  ⎥ = ⎢      ⎥ ⎢  ⎥
⎣b₂⎦   ⎣ t  r ⎦ ⎣a₂⎦

幺正性条件 U†U = I 给出两个关键约束：|r|² + |t|² = 1，以及 r*t + t*r = 0。第二个条件意味着反射与透射系数之间存在固定的相位关系，这正是HOM干涉中“相位约定”问题的来源。

二、反射与透射系数的相位约定

常见的分束器相位约定有两种：

• 对称约定：取 r = i·sinθ，t = cosθ，此时反射光相对透射光有 π/2 的相位差。对于50:50分束器，θ = π/4，得到 r = i/√2，t = 1/√2。
• 反对称约定：取 r = sinθ，t = i·cosθ，反射与透射的相位差符号相反。

两种约定在单光子实验中不可区分，因为单光子干涉只涉及强度。但在双光子干涉中，两光子分别经过反射和透射路径，相位差会直接影响干涉项的符号。若约定不一致，计算出的符合计数率可能从“凹陷”变成“峰值”，因此全文必须统一约定。本课程统一采用对称约定：r = i/√2，t = 1/√2。

三、双光子输入下的输出态

HOM实验的典型输入是两路各一个光子，即 |1,1⟩ = a₁†a₂†|0⟩。将输入算符用输出算符反解，或直接将态演化到输出端，可得：

|1,1⟩ → (i/√2)(a₁† + a₂†) · (1/√2)(a₁† + a₂†)|0⟩
      = (i/2)(a₁†² + 2a₁†a₂† + a₂†²)|0⟩

注意中间项 2a₁†a₂† 对应“两光子分别从不同端口输出”，即符合计数事件。而 a₁†² 和 a₂†² 对应“两光子从同一端口输出”。将输出态归一化后：

|ψ_out⟩ = (i/√2)|2,0⟩ + (i/√2)|0,2⟩

中间项 |1,1⟩ 的系数恰好为零。这就是HOM干涉的核心结论：当两光子完全不可区分时，符合计数事件被完全抑制，两光子总是“成对”从同一个输出端口离开。

四、部分可区分与干涉可见度

实际实验中，两光子不可能完全不可区分。若两光子在到达分束器时存在时间延迟 τ、频率差 Δω 或偏振差异，则两条路径的振幅不再完全相消。以时间延迟为例，符合计数率可写为：

R_c(τ) = R₀ · [1 - V · exp(-(τ/τ_c)²) · cos(Δω·τ)]

其中 R₀ 为远离干涉区时的符合计数率，V 为干涉可见度，τ_c 为相干时间。当 τ = 0 且 Δω = 0 时，R_c = R₀(1 - V)。理想情况下 V = 1，符合计数降为零；实际中 V < 1，凹陷不会完全到底。

可见度 V 直接反映两光子的不可区分程度。实验中常通过扫描延迟线，记录符合计数随 τ 的变化曲线，拟合得到 V 和 τ_c。若 V 明显低于预期，需要检查：光子带宽是否匹配、偏振是否对齐、分束器是否真的50:50、以及两路光程差是否稳定。

五、分束器参数对干涉的影响

分束器分束比偏离50:50时，HOM凹陷不会完全消失，但可见度会下降。设反射率为 R = |r|²，透射率为 T = |t|²，则符合计数最小值为：

R_c,min = R₀ · (R - T)²

当 R = T = 0.5 时，R_c,min = 0；当 R = 0.6, T = 0.4 时，R_c,min = 0.04R₀，凹陷深度只有96%。因此，实验中应尽量选用分束比接近50:50的分束器，并在数据处理中扣除分束比不理想带来的本底。

六、实验中的操作要点

在搭建HOM干涉光路时，分束器相关的操作要点包括：

1. 选择分束器：优先选用分束比接近50:50的偏振无关分束器，并记录其实际分束比，用于后续修正。
2. 统一相位约定：在理论计算和数据处理中使用同一套 r, t 约定，避免符号混乱。
3. 对准偏振：两路光子的偏振必须一致，否则反射/透射系数对两路不同，干涉可见度下降。
4. 扫描延迟：通过压电位移台扫描一路光程，记录符合计数随延迟的变化，拟合凹陷曲线。
5. 判断结果：若凹陷深度接近理论值（考虑分束比和可见度），说明两光子不可区分性良好；若凹陷很浅，需检查偏振、带宽和光程稳定性。

分束器的散射矩阵和相位约定是HOM干涉定量分析的起点。只有把输入输出关系写清楚，才能正确解释符合计数曲线的形状、凹陷深度和可见度，也才能在实验出现异常时快速定位是分束器参数、偏振还是延迟扫描的问题。