2. 光子与量子光学基础

在进入 Hong-Ou-Mandel 干涉实验之前，必须先建立一套能“数光子”的语言。经典电磁场把光描述为连续振幅与相位，而量子光学把光场看成量子化的谐振子：每个模式（由波矢 k、偏振 p 标记）对应一个独立的量子化自由度，其能量以 ℏω 为单位一份一份地增减。这一份一份的能量量子就是光子。理解 HOM 干涉中“两个光子同时到达分束器后为何会聚束”，本质上就是在理解光子的产生、湮灭算符如何作用在福克态上，以及不同态的光子数统计有何差异。

一、产生与湮灭：光场的“升降算符”

对单模光场，定义湮灭算符 a 与产生算符 a^†，它们满足对易关系 [a, a^†] = 1。它们对光子数态（福克态）|n⟩ 的作用为：

a |n⟩ = √n |n-1⟩      （湮灭一个光子，n ≥ 1）
a† |n⟩ = √(n+1) |n+1⟩  （产生一个光子）
a |0⟩ = 0              （真空不能被湮灭）
N = a†a，N|n⟩ = n|n⟩   （光子数算符）

注意 √n 与 √(n+1) 这两个系数不是装饰：它们保证了 |n⟩ 的正交归一，也直接决定了后面相干态展开中泊松分布的来源。在 HOM 实验中，分束器对两个输入模的作用正是用 a、b 的线性组合来描述的，因此算符代数是分析干涉结果的起点。

二、福克态：光子数完全确定的态

福克态 |n⟩ 是光子数算符的本征态，光子数完全确定，但相位完全不确定（相位分布均匀）。它可由真空态生成：|n⟩ = (a^†)ⁿ/√(n!) |0⟩。福克态的光子数统计是 δ 分布：⟨n⟩ = n，方差 Δ²n = 0。理想单光子源输出的就是 |1⟩，它是 HOM 干涉最理想的输入。实际实验中常用自发参量下转换（SPDC）的预报单光子，其态近似为 |1⟩ 但含有少量 |2⟩ 及高阶成分，这会在 HOM 曲线上表现为非零的符合计数底。

三、相干态：最接近“经典激光”的量子态

相干态 |α⟩ 是湮灭算符的本征态：a|α⟩ = α|α⟩，其中 α = |α|e^iθ。用福克态展开为

|α⟩ = e^(-|α|²/2) Σ (αⁿ/√(n!)) |n⟩

其光子数服从泊松分布 P(n) = e^-⟨n⟩⟨n⟩ⁿ/n!，因此 ⟨n⟩ = |α|²，方差 Δ²n = ⟨n⟩。泊松统计的特征是方差等于均值，对应“光子随机独立到达”。稳定运行的连续激光器输出态就非常接近相干态。在 HOM 实验中，如果用两束相干态代替两个单光子，干涉可见度最高只能到 50%，这正是经典波干涉的上限，也是区分量子干涉与经典干涉的关键判据。

四、热态：光子数呈玻色–爱因斯坦分布

热光（如黑体辐射、滤波后的放大自发辐射）的光子数服从玻色–爱因斯坦分布：

P(n) = ⟨n⟩ⁿ / (1+⟨n⟩)^(n+1)

其方差 Δ²n = ⟨n⟩ + ⟨n⟩²，明显大于均值，表现为光子“成团到达”（bunching）。热态没有稳定的相位，其相干时间由光谱宽度决定。在 HOM 类实验中，热光的聚束效应与双光子干涉叠加时，会改变符合计数的形状，因此区分相干态与热态是判断光源性质的基本手段。

五、三种态的光子数统计对比

下表给出三种典型态在相同平均光子数 ⟨n⟩ 下的统计特征，便于快速对照：

判断依据很直接：若测得 Δ²n ≈ ⟨n⟩，光源接近相干态；若 Δ²n > ⟨n⟩，存在热光聚束；若 Δ²n ≪ ⟨n⟩，则接近单光子或亚泊松统计。实验中常用二阶关联函数 g⁽²⁾(0) 来量化：相干态 g⁽²⁾(0)=1，热态 g⁽²⁾(0)=2，理想单光子 g⁽²⁾(0)=0。HOM 干涉的符合计数下降，本质上就是两个独立单光子输入在分束器上发生相消干涉，使 g⁽²⁾(0) 从 0.5（经典极限）进一步趋近 0。

六、光子数统计的测量与描述

实际测量光子数统计的常用方法是时间分辨单光子计数：用探测器记录每个到达时刻，把时间轴切成宽度远小于相干时间的窗口，统计每个窗口内的光子数，得到 P(n) 直方图。若光源平均光子数很低（⟨n⟩ ≪ 1），泊松分布近似为 P(0)≈1-⟨n⟩、P(1)≈⟨n⟩、P(2)≈⟨n⟩²/2，此时“有光子”与“无光子”的事件占主导，便于用符合计数区分单光子与双光子成分。在 HOM 实验中，正是通过测量两路探测器同时响应的符合计数随光程差的变化，反推出输入态的光子数纯度与干涉可见度。

把上述统计语言带入 HOM 实验：当两路输入都是理想 |1⟩ 时，分束器输出端的两光子态发生相消，符合计数在零光程差处出现明显凹陷，g⁽²⁾(0) 趋近 0；若输入为相干态，凹陷深度受限于 50% 的经典可见度；若输入含热光成分，聚束效应会抬高符合计数底。因此，在搭建 HOM 干涉仪之前，先用光子数统计确认光源类型与纯度，是保证后续干涉曲线可解释、可复现的必要前提。