4. 相位匹配条件与调谐

在自发参量下转换（SPDC）中，泵浦光子分裂为信号光子和闲频光子，能量守恒与动量守恒必须同时满足。能量守恒写作 ω_p = ω_s + ω_i，而动量守恒在晶体中表现为波矢匹配，即 k_p = k_s + k_i + Δk。其中 Δk 称为相位失配量，它决定了参量过程的转换效率以及输出光子对的频谱、空间模式和偏振关联特性。相位匹配条件就是让 Δk ≈ 0 的条件，而调谐则是通过改变实验参数使相位匹配在目标波长或目标模式上成立。

对于共线SPDC，相位失配可写为：

Δk = k_p - k_s - k_i - (2π/Λ)   （周期极化晶体）
Δk = k_p - k_s - k_i             （双折射相位匹配晶体）

其中 k_j = n_j ω_j / c，n_j 是晶体对相应波长的折射率，Λ 是周期极化晶体的极化反转周期。当 Δk = 0 时，参量增益最大；当 Δk ≠ 0 时，转换效率按 sinc²(ΔkL/2) 下降，L 为晶体长度。因此，相位匹配的调谐本质上是在改变折射率、波矢或极化周期，使目标波长组合重新满足 Δk ≈ 0。

角度调谐：改变波矢方向

在双折射相位匹配晶体（如BBO、KDP、LiIO₃）中，信号光和闲频光的折射率与传播方向相对于晶体光轴的夹角 θ 有关。通过旋转晶体或改变泵浦光入射角，可以改变 n_s 和 n_i，从而调节相位匹配波长。以负单轴晶体中的I类相位匹配为例，泵浦光为e偏振，信号光和闲频光为o偏振，匹配条件为：

n_e(θ, ω_p) · ω_p = n_o(ω_s) · ω_s + n_o(ω_i) · ω_i

当 θ 从90°（非临界相位匹配）逐渐减小时，相位匹配波长会向短波或长波方向移动。角度调谐的优点是响应快、结构简单，只需精密旋转台即可；缺点是走离效应明显，尤其在大角度时信号光与泵浦光的空间分离会降低收集效率。实际实验中，常用步进电机驱动旋转台，角度分辨率约0.001°，对应波长调谐精度可达亚纳米量级。

温度调谐：改变折射率

晶体的折射率随温度变化，其热光系数 dn/dT 虽然数值不大，但乘以晶体长度后足以改变相位匹配条件。温度调谐通常用于非临界相位匹配（NCPM）晶体，如KTP、LiNbO₃和PPLN。以PPLN为例，在周期 Λ 固定时，温度变化会改变 n_e 和 n_o，进而改变准相位匹配波长。典型PPLN的温度调谐系数约为0.1 nm/°C，温度控制精度需达到0.01°C才能获得稳定的输出波长。温度调谐的优点是无走离效应、调谐连续平滑，适合窄带滤波和频率转换；缺点是热惯性大，响应速度慢，且需要恒温炉和温控器。

周期极化晶体的准相位匹配

准相位匹配（QPM）通过周期性反转晶体的铁电畴，引入一个额外的倒格矢 G = 2π/Λ 来补偿相位失配。这样，即使晶体本身不能通过双折射实现相位匹配，也能在任意波长组合上获得高效率转换。QPM的核心优势在于：可以选择最大的非线性系数 d₃₃（如PPLN的 d₃₃ ≈ 27 pm/V），而不是受限于双折射匹配所需的 d₃₁；同时，通过设计不同的极化周期 Λ，可以在同一块晶体上实现多个波长的相位匹配。

对于PPLN，准相位匹配条件为：

Δk = k_p - k_s - k_i - 2π/Λ = 0

若泵浦波长为780 nm，信号光和闲频光分别为1550 nm和1560 nm，则所需极化周期约为19.5 μm。实际制作中，周期误差需控制在0.1 μm以内，否则转换效率会显著下降。周期极化晶体的调谐方式包括：改变温度（约0.1 nm/°C）、改变泵浦波长（约1 nm/nm）以及使用多周期结构（fan-out grating）实现离散波长选择。

泵浦波长与晶体参数对输出态的影响

泵浦波长直接决定信号光和闲频光的中心波长。由能量守恒 1/λ_p = 1/λ_s + 1/λ_i 可知，当泵浦波长从405 nm变为355 nm时，若信号光固定在810 nm，闲频光将从830 nm移至约630 nm。同时，泵浦波长还会影响相位匹配曲线，改变调谐斜率。例如，在PPLN中，泵浦波长每增加1 nm，信号光波长约增加1.5 nm，闲频光波长约减少0.5 nm，具体数值取决于色散曲线。

晶体长度 L 对输出态的影响体现在相位匹配带宽上。带宽近似为 Δλ ≈ 0.44 λ_s² / (L · |∂Δk/∂λ_s|)。以PPLN为例，当 L = 20 mm 时，1550 nm附近的相位匹配带宽约为0.5 nm；当 L = 5 mm 时，带宽展宽至约2 nm。因此，需要窄带光子对时选择长晶体，需要宽带光谱时选择短晶体。此外，晶体长度还影响走离效应和群速度失配，进而影响光子对的联合频谱振幅（JSA）和纠缠纯度。

极化周期 Λ 的精度直接决定转换效率。若实际周期偏离设计值 ΔΛ，则相位失配增加 Δk = 2πΔΛ/Λ²。对于 Λ = 19.5 μm、L = 20 mm 的PPLN，周期误差0.1 μm会导致效率下降约30%。因此，周期极化晶体的制作需要电子束曝光和高压极化，周期误差通常控制在0.05 μm以内。多周期结构（如扇形光栅）可以在同一芯片上提供多个 Λ 值，通过平移晶体实现离散波长切换，适合多波长SPDC实验。

调谐参数示例与判断依据

以下给出一个PPLN相位匹配调谐的示例参数表，用于说明温度、泵浦波长和极化周期如何共同决定输出波长。表中数据为基于典型色散曲线的合理假设，实际值需以晶体供应商提供的Sellmeier方程为准。

在实际操作中，判断相位匹配是否达到最佳，可以观察以下三个指标：第一，信号光和闲频光的输出功率是否达到最大；第二，符合计数率是否出现峰值；第三，光谱中心波长是否与设计值一致。若功率偏低但波长正确，可能是晶体温度不均匀或极化周期误差偏大；若波长偏离设计值，则需要重新检查温度或泵浦波长。通过系统性地扫描温度或角度，并记录符合计数率曲线，可以找到相位匹配峰的位置，进而确定最佳工作点。

总结来说，相位匹配调谐是SPDC实验的核心环节。角度调谐适合快速、宽范围调整；温度调谐适合精细、无走离调整；周期极化晶体则通过设计极化周期实现高效准相位匹配。泵浦波长、晶体长度和极化周期共同决定了输出光子对的中心波长、带宽和效率。理解这些参数之间的定量关系，才能在实际实验中稳定地产生目标量子态。