2. 非线性光学基础

要理解纠缠光子对如何产生，必须先回到介质对强光的非线性响应。在线性光学中，介质极化强度 P 与电场 E 成正比，即 P = ε₀χ⁽¹⁾E，折射率与光强无关。但当入射光强达到 10⁸～10¹⁰ W/cm² 量级（脉冲激光聚焦后很容易实现）时，高阶项不可忽略，极化强度需展开为：

P = ε₀[ χ⁽¹⁾E + χ⁽²⁾E² + χ⁽³⁾E³ + … ]

χ⁽¹⁾：线性极化率，决定折射、吸收
χ⁽²⁾：二阶非线性极化率，量纲 m/V，仅存在于非中心对称晶体
χ⁽³⁾：三阶非线性极化率，存在于所有介质，对应四波混频、克尔效应

本节聚焦 χ⁽²⁾。它是自发参量下转换（SPDC）、二次谐波产生（SHG）、和频与差频的物理根源。χ⁽²⁾ 张量有 27 个分量，受晶体对称性约束后独立分量大幅减少。以常用的偏硼酸钡（BBO，β-BaB₂O₄）为例，其点群为 3m，只有 d₂₂、d₃₁ 等少数非零分量，其中 d₂₂ ≈ 2.2 pm/V，是商用晶体中较大的值。选择晶体时，χ⁽²⁾ 越大，同样泵浦功率下转换效率越高，但还要兼顾透明波段、损伤阈值和相位匹配能力。

相位匹配：动量守恒的工程实现

SPDC 过程中，一个泵浦光子（频率 ω_p，波矢 k_p）在非线性晶体中分裂为信号光子（ω_s，k_s）和闲频光子（ω_i，k_i）。能量守恒要求 ω_p = ω_s + ω_i，动量守恒要求 k_p = k_s + k_i。后者即相位匹配条件，写成标量形式为：

Δk = k_p − k_s − k_i = 0

其中 k = n(ω)·ω/c，n 为对应偏振和传播方向的折射率

由于色散，不同频率的光在晶体中折射率不同，Δk 通常不为零。相位失配 Δk ≠ 0 时，信号光在传播中会周期性增强又减弱，相干长度 L_c = π/Δk 决定有效作用距离。若晶体长度远大于 L_c，转换效率急剧下降。因此必须通过某种机制补偿色散，使 Δk ≈ 0。

双折射相位匹配与准相位匹配

最经典的方法是双折射相位匹配（BPM）。在单轴晶体中，e 光折射率随波矢与光轴夹角 θ 变化，而 o 光不变。通过选择特定 θ 角，可以让泵浦光取 e 偏振、信号与闲频取 o 偏振（或相反组合），使 n_e(θ, ω_p)·ω_p = n_o(ω_s)·ω_s + n_o(ω_i)·ω_i。按泵浦与参量光偏振关系，分为 I 型（信号、闲频同偏振）和 II 型（信号、闲频正交偏振）。II 型匹配在偏振纠缠源中尤为重要，因为正交偏振的两路光子更容易通过偏振分束器分离并分别探测。

BPM 的局限在于：只有特定偏振组合和特定角度才能满足匹配，且存在走离效应——e 光与 o 光在晶体中传播方向分离，降低重叠效率。另一种思路是准相位匹配（QPM）：不追求 Δk = 0，而是让晶体非线性系数周期性反转，周期 Λ = 2π/Δk。每经过一个相干长度，χ⁽²⁾ 符号翻转，使信号光继续同相增长。QPM 的典型实现是周期极化铌酸锂（PPLN），通过外加电场在铌酸锂中写入周期性畴反转结构。PPLN 可利用晶体最大非线性分量 d₃₃ ≈ 27 pm/V，效率远高于 BPM，且匹配波长可通过设计 Λ 灵活选择。

自发参量下转换的物理起源

SPDC 与受激参量下转换的区别在于“自发”二字。受激过程中，信号光或闲频光已有输入，非线性介质将其放大；而 SPDC 没有外部信号输入，初始种子来自真空涨落。量子电动力学将真空视为充满零点能的涨落场，泵浦光子在 χ⁽²⁾ 介质中与这些真空涨落耦合，以一定概率“分裂”为信号-闲频光子对。这个过程是概率性的，每个泵浦脉冲产生光子对的数目服从热分布，平均光子对数由泵浦功率、晶体长度、相位匹配带宽和收集效率共同决定。

在实验上，SPDC 产生的信号与闲频光子具有强关联：能量上 ω_s + ω_i = ω_p，动量上 k_s + k_i = k_p，偏振上也存在关联（II 型中信号与闲频偏振正交）。这些关联正是纠缠的物理基础。当信号与闲频在能量、动量或偏振上不可区分时，对其中一个光子的测量会瞬间确定另一个光子的状态，形成纠缠。常用的纠缠源配置包括：II 型 BBO 产生偏振纠缠，或利用 Sagnac 干涉环结构让顺时针与逆时针产生的光子对相干叠加，输出偏振纠缠态 |Φ⁺⟩ = (|HH⟩ + |VV⟩)/√2。