4. 自发参量下转换原理

自发参量下转换（Spontaneous Parametric Down-Conversion, SPDC）是当前工程化量子光源最主流的物理过程：一束高频泵浦光子在非线性介质中“自发”分裂为一对低频光子，分别称为信号光（signal）与闲频光（idler）。它之所以成为量子光源的基石，是因为能量与动量守恒天然地把两个光子纠缠在时间、频率、偏振和横模自由度上，且过程可在室温、连续波或脉冲条件下稳定运行。本节从哈密顿量出发，逐步落到相位匹配类型、模式结构，最后给出可工程化的光子对产生率估算方法。

一、SPDC的哈密顿量描述

在二阶非线性介质中，光场与介质的相互作用由三波混频哈密顿量描述。取泵浦为强经典场（不耗尽近似），相互作用哈密顿量可写为：

H_int = iħ·χ⁽²⁾·(a_s† a_i† a_p − a_s a_i a_p†)

其中：
  χ⁽²⁾  : 二阶非线性极化率（与有效非线性系数 d_eff 相关）
  a_p   : 泵浦场湮灭算符（经典近似下视为复振幅 E_p）
  a_s†  : 信号光产生算符
  a_i†  : 闲频光产生算符

第一项对应“泵浦光子湮灭、同时产生信号与闲频光子”的参量下转换过程，第二项为其共轭（参量上转换）。在量子光学中，通常只保留第一项，得到有效哈密顿量 H ≈ iħ·χ⁽²⁾E_p·a_s†a_i† + h.c.。对真空态演化后，输出态可展开为：

|ψ⟩ ≈ |0⟩ + ξ·|1_s, 1_i⟩ + ξ²/√2·|2_s, 2_i⟩ + …

其中 ξ = χ⁽²⁾E_p·L·sinc(ΔkL/2)·e^{iΔkL/2}
     L 为介质长度，Δk 为相位失配量

这一展开式说明两个关键工程事实：其一，低增益下多光子项可忽略，输出近似为“真空 + 光子对”的叠加，这正是单光子源与预报式光源的工作区间；其二，光子对产生概率正比于 |ξ|²，而 ξ 同时受泵浦强度、非线性系数、介质长度和相位匹配共同调制。

二、相位匹配类型：从Δk到偏振组合

相位匹配要求泵浦、信号、闲频三波的波矢满足 Δk = k_p − k_s − k_i ≈ 0。由于介质色散，不同频率折射率不同，工程上通过双折射或周期极化来补偿。按偏振组合，SPDC分为两类：

• Type-0：三波偏振相同（如均为e光），常见于周期极化铌酸锂（PPLN）中的准相位匹配，d_eff最大，效率最高。
• Type-I：信号与闲频偏振相同，且与泵浦正交（如泵浦e光，下转换o光）。
• Type-II：信号与闲频偏振正交（如o光与e光），常用于偏振纠缠源。

准相位匹配（QPM）通过周期反转畴结构引入倒格矢 G = 2π/Λ，使 Δk = k_p − k_s − k_i − G = 0。以PPLN为例，泵浦532 nm、信号与闲频约1064 nm附近，极化周期Λ约6.5～7 μm，可在室温下实现高效匹配。相比双折射相位匹配，QPM允许选择d_eff最大的偏振组合，且工作温度与波长调谐更灵活。

三、光谱与空间模式结构

相位匹配函数 sinc²(ΔkL/2) 直接决定光谱结构。当 Δk=0 时取最大值，偏离时迅速衰减。其半高全宽近似为 Δω ≈ 2π·0.886/(L·|v_g,s⁻¹ − v_g,i⁻¹|)，即介质越长、群速度差越大，光谱越窄。工程上常用两种手段调控：一是改变晶体温度或极化周期，使匹配波长移动；二是插入带通滤光片或使用腔增强结构，把宽带SPDC“裁剪”成窄带光源，用于原子跃迁或量子存储接口。 空间模式方面，SPDC输出的信号与闲频在横向上遵循泵浦光的高斯分布，但存在空间关联：两个光子在横动量上满足 k_s⊥ + k_i⊥ ≈ k_p⊥。若泵浦为高斯光束，则信号与闲频各自呈多模热光统计，直接耦合进单模光纤时效率有限。工程上通过短晶体、小泵浦束腰或使用波导结构，可显著提升空间模式纯度，使收集效率从自由空间的约30%提升到波导中的80%以上。

四、光子对产生率的工程估算

连续波泵浦下，单位时间光子对产生率可近似为：

R_pair ≈ (2π/ħ²)·|χ⁽²⁾|²·P_p·L²·sinc²(ΔkL/2) / (ε₀·c·n_p·n_s·n_i·A_eff)

简化工程式：
R_pair ≈ η·P_p·L² / A_eff

其中：
  P_p    : 泵浦功率（W）
  L      : 晶体长度（m）
  A_eff  : 有效模场面积（m²）
  η      : 综合效率系数，含χ⁽²⁾、折射率、相位匹配因子

以PPLN波导为例，取典型参数：泵浦532 nm、功率50 mW，晶体长度20 mm，波导截面约5 μm×5 μm，d_eff约14 pm/V，准相位匹配条件下sinc²≈1。估算可得R_pair约在10⁶～10⁷对/秒量级。若采用脉冲泵浦，则需将P_p替换为峰值功率，并乘以脉冲重复频率与脉冲宽度的重叠因子。实际测量中，常用符合计数率（coincidence rate）与单路计数率之比来反推光子对产生率，并扣除暗计数与背景光。

综合来看，SPDC的哈密顿量给出了过程的基本量子描述，相位匹配类型决定了偏振与效率，光谱与空间模式结构决定了光源的可用性，而产生率估算则把物理参数翻译成可测量的计数率。掌握这四层关系，就能在给定泵浦与晶体条件下，快速判断光源是否满足实验或系统需求。