2. 量子光学基础

要理解片上纠缠光子源，必须先建立一套“用态矢量描述光”的语言。经典光学里，光场用振幅和相位描述；而在量子光学中，光场的激发被离散化为光子，每个模式（由频率、波矢、偏振共同确定）上的光子数构成一个量子态。最基础的记法是Fock态 \(|n\rangle\)，表示某模式中有 \(n\) 个光子。真空态 \(|0\rangle\) 并非“什么都没有”，而是所有模式都处于最低能级，它仍然具有可观测的真空涨落，这正是参量过程的种子。

光子还可以处于叠加态。例如单光子经过分束器后，可写成 \(|1\rangle_a|0\rangle_b\) 与 \(|0\rangle_a|1\rangle_b\) 的相干叠加，两个输出端口各有一半概率探测到光子。这种“路径叠加”是干涉的基础。更一般地，任意单光子态可写为 \(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle\)，其中 \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\)。当多个模式联合描述时，态空间是各模式空间的张量积，这为纠缠提供了数学舞台。

纠缠：不可分解的联合量子态

纠缠的核心特征是：整个系统的态无法写成各子系统态的直积。以双光子偏振为例，四个Bell态之一为

|Φ+⟩ = ( |H⟩_a|H⟩_b + |V⟩_a|V⟩_b ) / √2

这里下标 a、b 表示两个空间模式或两个光子。若测量 a 光子为 H，则 b 光子必然坍缩为 H；若 a 为 V，则 b 必为 V。单看 a 或 b，偏振都是完全混态，各占 50% 概率，但两者之间存在完美的关联。这种非局域关联不能由任何“事先约定好的隐藏变量”解释，是量子信息、量子密钥分发和量子计算的核心资源。判断纠缠的常用实验手段是测量不同基下的关联函数，例如在 H/V 基和 ±45° 基下分别测符合计数，若满足Bell不等式违背，即可确认纠缠存在。

自发参量下转换（SPDC）

SPDC 是产生纠缠光子对最成熟的方法。在具有二阶非线性 \(\chi^{(2)}\) 的晶体中，一个高频泵浦光子自发分裂为两个低频光子，分别称为信号光和闲频光。整个过程必须同时满足能量守恒和动量守恒：

ω_p = ω_s + ω_i
k_p = k_s + k_i + Δk

其中 \(\Delta k\) 为相位失配量。当 \(\Delta k=0\) 时转换效率最高，称为相位匹配。实际晶体中，常通过周期极化（如 PPLN）引入倒格矢来补偿材料色散，使 \(\Delta k\) 在目标波长附近接近零。SPDC 有两种典型相位匹配方式：

• Type-0：泵浦、信号、闲频偏振相同，转换效率高，常用于片上铌酸锂波导。
• Type-II：信号与闲频偏振正交，天然产生偏振纠缠，但效率通常低于 Type-0。

SPDC 产生的态可近似写为

|ψ⟩ ≈ |0⟩ + η |1⟩_s|1⟩_i + η²/√2 |2⟩_s|2⟩_i + …

其中 \(\eta\) 与泵浦功率、非线性系数和相互作用长度有关。在低泵浦下，多光子项可忽略，系统近似处于双光子态。若信号和闲频在频率上不可区分，则产生频率纠缠；若在偏振上不可区分，则产生偏振纠缠。片上实现时，通常将周期极化铌酸锂（PPLN）或氮化硅（Si₃N₄）波导作为非线性介质，泵浦光通过光栅耦合器进入波导，信号和闲频光在输出端经滤波后分别耦合到单光子探测器。

自发四波混频（SFWM）

在缺乏 \(\chi^{(2)}\) 的材料中，如硅、氮化硅、二氧化硅，三阶非线性 \(\chi^{(3)}\) 主导的 SFWM 成为替代方案。两个泵浦光子同时湮灭，产生一对信号-闲频光子。其能量和动量守恒条件为：

2ω_p = ω_s + ω_i
2k_p = k_s + k_i + Δk

与 SPDC 相比，SFWM 的泵浦波长更灵活，且天然兼容 CMOS 工艺，便于与片上波导、微环谐振器集成。微环谐振器通过增强腔内光场密度，可显著提升 SFWM 效率。但硅材料存在双光子吸收（TPA）和自由载流子吸收，在高泵浦功率下会引入损耗和噪声，因此实际设计中常采用氮化硅或 Hydex 等低非线性损耗平台。SFWM 的量子态同样可近似为双光子态，其联合谱振幅由泵浦脉冲的频谱和相位匹配条件共同决定。若泵浦为连续光，信号和闲频在频率上反相关，可产生频率纠缠；若泵浦为脉冲光，则时间上存在关联，可产生时间-能量纠缠。

从原理到片上实现的关键参数

无论是 SPDC 还是 SFWM，片上源的设计都围绕几个核心参数展开：非线性系数、波导几何色散、相位匹配带宽、泵浦功率和损耗。以 PPLN 波导为例，典型参数为：周期约 19 μm，波导宽度 3–5 μm，长度 1–2 cm，泵浦波长 780 nm，信号/闲频约 1560 nm。此时相位匹配带宽可达数十纳米，双光子产生率在毫瓦级泵浦下可达 \(10^6\)–\(10^7\) 对/秒。实际测量时，通过符合计数与偶然符合计数之比来评估源的质量，并用二阶关联函数 \(g^{(2)}(0)\) 判断单光子性：当 \(g^{(2)}(0)<0.5\) 时，可认为源具有明显的单光子特性。

从实验角度看，片上源的表征通常包括：测量符合计数随泵浦功率的变化，确认双光子产生率与功率的平方关系（SPDC）或平方关系（SFWM）；测量联合谱，观察信号与闲频的频率反相关；测量二阶关联函数 \(g^{(2)}(0)\)，验证单光子性；以及通过量子态层析重建密度矩阵，评估纠缠保真度。这些测量结果直接决定源能否用于后续的量子逻辑门或量子中继。理解 SPDC 与 SFWM 的物理机制和参数依赖，是设计、优化和表征片上纠缠光子源的第一步。