4. 状态估计数学基础

航天器导航的核心任务，是从带有噪声的测量中推断出无法直接观测的状态量，例如位置、速度、姿态和陀螺零偏。要理解并实现这一过程，必须先掌握状态估计的数学基础。本章围绕概率描述、四类经典估计准则、线性高斯系统的最优估计，以及可观测性与性能评价展开，为后续卡尔曼滤波及其扩展奠定理论根基。

一、概率论与随机过程：给“不确定性”建模

状态估计的第一步是把不确定性量化。随机变量用概率密度函数描述，高斯分布因其只需均值与协方差两个参数、且线性变换后仍为高斯，成为导航中最常用的模型。对状态向量 x，记 x ~ N(μ, P)，其中 μ 是均值（估计值），P 是协方差矩阵，其对角元表示各分量方差，非对角元表示分量间相关性。

导航中的测量与状态往往随时间演化，因此需要随机过程。若过程噪声 w(t) 的均值恒为零、不同时刻互不相关，则称为白噪声，其强度用谱密度 Q 描述。连续系统 ẋ = Fx + w 离散化后得到 xₖ = Φₖ₋₁xₖ₋₁ + wₖ₋₁，过程噪声协方差 Qₖ 由 Q 与采样间隔共同决定。这里约定：Φ 为状态转移矩阵，H 为观测矩阵，R 为量测噪声协方差，全文保持一致。

二、四种估计准则：从最小二乘到贝叶斯

最小二乘估计（LS）不假设噪声统计特性，只要求残差平方和最小。对线性观测 z = Hx + v，其解为 x̂ = (HᵀH)⁻¹Hᵀz。当各测量精度不同时，引入权重矩阵 W 得到加权最小二乘 x̂ = (HᵀWH)⁻¹HᵀWz，若取 W = R⁻¹，则等价于马尔可夫估计，是工程中最常用的形式。

最大似然估计（MLE）假设噪声分布已知，选择使观测出现概率最大的参数。对高斯噪声，MLE 退化为加权最小二乘，权重恰为 R⁻¹。这说明：当噪声为高斯白噪声时，最小二乘与最大似然在数学上统一。

贝叶斯估计把待估参数视为随机变量，利用先验分布与似然函数得到后验分布 p(x|z) ∝ p(z|x)p(x)。最小均方误差估计取后验均值，最大后验估计取后验峰值。贝叶斯框架的价值在于：它天然支持“先验知识 + 新测量”的递推融合，这正是卡尔曼滤波的思想源头。

线性高斯系统的最优估计是上述理论的集大成者。在系统线性、噪声高斯、且已知初值统计特性的前提下，卡尔曼滤波给出最小方差意义下的最优估计，其递推分为预测与更新两步：

预测：x̂ₖ⁻ = Φₖ₋₁x̂ₖ₋₁
      Pₖ⁻ = Φₖ₋₁Pₖ₋₁Φₖ₋₁ᵀ + Qₖ₋₁
增益：Kₖ = Pₖ⁻Hₖᵀ(HₖPₖ⁻Hₖᵀ + Rₖ)⁻¹
更新：x̂ₖ = x̂ₖ⁻ + Kₖ(zₖ − Hₖx̂ₖ⁻)
      Pₖ = (I − KₖHₖ)Pₖ⁻

其中 zₖ − Hₖx̂ₖ⁻ 称为新息，反映测量与预测的偏差；增益 Kₖ 自动在“相信模型”与“相信测量”之间权衡：R 越小（测量越准），增益越大，估计越偏向测量。

三、可观测性、可观测度与性能评价

估计能否收敛，取决于系统是否可观测。对线性时不变系统，可观测性矩阵 O = [H; HΦ; HΦ²; …; HΦⁿ⁻¹] 满秩时系统完全可观测，即任意初始状态都能由有限段测量唯一确定。若 O 秩亏，则存在不可观测子空间，对应状态分量无法被估计。

实际工程中，系统往往“理论可观测但数值上很弱”，于是引入可观测度。常用做法是对可观测性矩阵做奇异值分解，最小奇异值越小，说明该方向测量信息越弱，估计收敛越慢、对噪声越敏感。例如仅用测距观测估计位置与速度时，若采样间隔过短，位置与速度的可区分性下降，可观测度降低。

估计性能通常用三类指标评价：一是协方差矩阵 P 的对角元，直接给出各状态估计方差；二是均方根误差 RMSE，用于蒙特卡洛仿真中与真值对比；三是一致性检验，如归一化估计误差平方 NEES，若统计量落在卡方分布置信区间内，说明滤波器对自身不确定度的描述是可信的。工程上若发现 NEES 持续偏大，往往意味着 Q 或 R 设置与实际不符，需要重新标定。

综上，概率论提供不确定性的语言，四类估计准则给出求解思路，卡尔曼滤波在线性高斯条件下实现最优递推，而可观测性与性能指标则回答“能不能估、估得好不好”。掌握这条主线，才能在后续非线性系统与非高斯场景中正确选择与调优估计方法。