2. 航天器轨道与姿态动力学基础
状态估计的核心任务，是从带噪声的测量中反推航天器的真实运动状态。要做到这一点，必须先回答一个前置问题：状态量按什么规律随时间演化？这个规律就是过程模型，也叫动力学模型。本节围绕轨道与姿态两条主线，梳理二体问题、轨道六根数、坐标系与转换、姿态描述以及动力学/运动学方程，目标是让读者能够写出可用于滤波递推的状态方程。
一、二体问题：轨道运动的基准模型
把航天器视为质点，地球视为均质球体，忽略摄动，就得到二体问题。其运动方程为：
r̈ = -μ · r / |r|³其中 r 为地心惯性系下的位置矢量，μ = GM 为地球引力常数（约 3.986×10¹⁴ m³/s²）。该方程存在解析解：轨道是圆锥曲线，航天器在近地点最快、远地点最慢，且满足开普勒三定律。二体模型虽然简化，却是绝大多数在轨估计器的基准过程模型——J2 摄动、大气阻力、三体引力等通常作为附加加速度项叠加其上。
对状态估计而言，二体模型给出的关键结论是：位置和速度并非独立演化，而是被轨道几何强约束。这意味着即使只测到部分分量，也能通过模型约束推断其余状态，这正是滤波能收敛的物理基础。
二、轨道六根数：把状态写成几何参数
二体轨道由六个独立参数唯一确定，即轨道六根数：
- 半长轴 a：决定轨道能量与周期，T = 2π√(a³/μ)。
- 偏心率 e：决定轨道形状，e=0 为圆轨道，0<e<1 为椭圆。
- 轨道倾角 i：轨道面与赤道面的夹角。
- 升交点赤经 Ω：从春分点方向到升交点方向的夹角。
- 近地点幅角 ω：从升交点到近地点的夹角。
- 真近点角 ν：从近地点到航天器当前位置的夹角。
前五个参数描述轨道几何，ν 描述航天器在轨道上的瞬时位置。六根数与惯性系下的位置速度 (r, v) 可以互相转换：由 (a,e,i,Ω,ω,ν) 经轨道平面旋转可算出 r 和 v；反之由 r、v 可反解出六根数。在估计实践中，六根数常用于初始化和结果解释，而滤波内部通常仍以直角坐标 (r, v) 递推，因为其动力学方程形式简单、无奇异性（六根数在 e=0 或 i=0 时存在奇异）。
三、坐标系定义与转换
航天器估计涉及多套坐标系，必须明确每套系的定义与转换链：
- 地心惯性系（ECI）：原点在地心，X 轴指向春分点，Z 轴指向北极，用于描述轨道运动。
- 地心地固系（ECEF）：随地球自转，用于地面站、地理坐标相关计算。
- 轨道坐标系：以航天器为原点，一轴指向地心，一轴沿轨道面法向，用于描述相对几何。
- 本体坐标系：固连于航天器，用于描述姿态。
转换通过旋转矩阵级联实现。例如 ECI 到 ECEF 需绕 Z 轴旋转地球自转角 θ = ωₑ·t。姿态相关的转换则通过方向余弦矩阵（DCM）完成，任意两系之间的 DCM 都是正交矩阵，满足 CᵀC = I，det(C) = 1。这一正交性是姿态估计中归一化约束的来源。
四、姿态描述：欧拉角、四元数与 DCM
姿态描述三件套各有取舍：
| 描述方式 | 参数个数 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 欧拉角 | 3 | 直观，易读 | 存在万向节死锁 |
| 方向余弦矩阵 | 9（含6约束） | 无奇异，可级联 | 冗余，计算量大 |
| 四元数 | 4（含1约束） | 无奇异，计算高效 | 符号二义性，需归一化 |
四元数 q = [q₀, q₁, q₂, q₃]ᵀ 满足 ‖q‖=1，其运动学方程为：
q̇ = 0.5 · Ω(ω) · q
Ω(ω) = [ 0 -ωᵀ ;
ω -[ω]× ]其中 ω 为本体系下的角速度。该方程是姿态估计过程模型的核心。由于四元数无奇异且维度低，星上姿态滤波器普遍采用四元数作为状态量，并在每步递推后做归一化。
五、动力学与运动学方程：过程模型的最终形式
把上述内容整合，得到状态估计所需的过程模型。轨道部分：
ṙ = v
v̇ = -μ·r/|r|³ + a_pert姿态部分：
q̇ = 0.5 · Ω(ω) · q
ω̇ = J⁻¹ · (τ - ω × (J·ω))其中 J 为惯量矩阵，τ 为控制力矩。轨道与姿态在弱耦合假设下可分别估计，若考虑挠性附件或大型太阳帆板，则需引入耦合项。
六、从连续方程到滤波递推
实际滤波（如扩展卡尔曼滤波）需要离散形式。对上述连续方程做一阶近似：
x_{k+1} ≈ x_k + f(x_k)·Δt
F_k = ∂f/∂x |_{x_k}其中 F_k 为状态转移矩阵，由动力学方程的雅可比得到。以二体轨道为例，位置对速度的偏导为单位阵，速度对位置的偏导为引力梯度张量：
∂(v̇)/∂r = -μ/|r|³ · (I - 3·r·rᵀ/|r|²)该矩阵刻画了轨道运动的恢复力特性：位置偏移会通过引力梯度反馈到加速度，进而影响后续位置。这正是滤波器能够从位置测量中修正速度误差的机制。
七、建模实践中的关键判断
在真正搭建估计器时，有几个判断直接影响效果。第一，状态量选取：轨道用 (r, v) 还是六根数？前者无奇异、方程简单，推荐作为滤波状态；后者适合初始化与结果展示。第二，摄动取舍：低轨（约 400 km）大气阻力显著，需加入；高轨（GEO）则 J2 与三体引力更关键。第三，姿态参数化：四元数用于递推，欧拉角用于人机交互，DCM 用于坐标变换，三者按需转换。第四，离散步长：Δt 过大将引入截断误差，一般取估计周期的 1/5 至 1/10 做子步积分。
综上，本节建立的轨道与姿态过程模型，是后续卡尔曼滤波、非线性滤波与多源融合的数学基础。只有过程模型与测量模型匹配，状态估计才能稳定收敛并给出可信的精度评估。