第四节：凸优化基础——速度规划的核心数学工具

各位同学好，我是你们的老朋友。今天我们来聊聊凸优化。说实话，我刚入行时觉得这玩意儿就是数学家的玩具，跟工程实践八竿子打不着。直到有一次，我在做城市道路的速度规划，遇到一个非凸问题，求解器跑了半天不收敛，最后车辆差点撞上路沿……嗯，从那以后，我再也不敢小看凸优化了。

凸优化，说白了就是一类特殊的优化问题。它的特点是：目标函数是凸函数，约束条件构成的集合是凸集。

为什么叫“凸”？你想象一个碗的形状，碗的内侧就是凸的。或者更形象一点——你往地上扔一个弹珠，它最终会滚到碗底的最低点。这个最低点就是全局最优解。非凸问题就像是一个凹凸不平的锅底，弹珠可能卡在某个小坑里，永远到不了真正的最低点。

我在项目中遇到过这样一个场景：做路径规划时，目标函数是非凸的，结果每次跑出来的轨迹都不一样，有时候好有时候差。后来改成凸优化建模，结果稳定多了，求解时间也从几百毫秒降到了几十毫秒。

核心要点：凸优化保证任何局部最优解就是全局最优解。这是它最迷人的地方。

先说说凸集。一个集合是凸的，当且仅当集合内任意两点的连线，整条线段都在集合内部。

举个例子：一个圆盘是凸集，一个哑铃形状就不是。为什么？因为哑铃中间细，两端的点连线会穿过外部区域。

再来看凸函数。一个函数是凸的，当且仅当函数图像上任意两点的连线，都在函数图像的上方。

我习惯用二阶导数来判断：如果二阶导数恒大于等于0，那函数就是凸的。比如 f(x)=x² 是凸的，f(x)=sin(x) 就不是。

类型	定义	例子
凸集	任意两点连线在集合内	超平面、多面体、球
凸函数	二阶导数 ≥ 0	二次函数、指数函数

避坑指南：我曾经以为所有二次函数都是凸的，结果发现 f(x)= -x² 是凹函数。判断时一定要看二次项系数的正负。

线性规划是最简单的凸优化问题。目标函数和约束条件都是线性的。说白了就是在一堆直线围成的区域里，找一个点让某个线性表达式最大或最小。

举个例子：你要在限速范围内，找一个速度让行驶时间最短。限速是线性约束，时间是速度的线性函数（距离固定时）。这就是一个LP问题。

# 一个简单的LP例子
# 目标：最小化 f(x) = 3x1 + 2x2
# 约束：x1 + x2 ≥ 4
#       2x1 + x2 ≤ 8
#       x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

二次规划稍微复杂一点。目标函数是二次的，约束是线性的。比如你要在限速范围内，找一个速度让加速度变化最小。加速度变化是速度的二次函数，这就是QP问题。

我建议你在速度规划中优先考虑QP。为什么？因为LP只能处理线性关系，而速度规划中很多目标（如舒适性、能耗）都是非线性的，用二次函数拟合效果更好。

类型	目标函数	约束条件	求解难度
LP	线性	线性	极低
QP	二次	线性	低

你想想看，速度规划本质上是在做什么？是在满足各种约束（限速、加速度限制、舒适性要求）的前提下，找一条最优的速度曲线。

这些约束条件，比如速度不能超过某个值、加速度不能超过某个范围，都是线性约束，构成的是凸集。目标函数，比如最小化加速度变化率、最小化能耗，通常可以建模成凸函数。

所以速度规划天然适合用凸优化来求解。我做过一个项目，用凸优化做速度规划，求解时间稳定在10毫秒以内，而且每次都能找到全局最优解。换成非凸方法，求解时间波动很大，有时候要几百毫秒，而且结果不稳定。

注意：不是所有速度规划问题都是凸的。比如考虑障碍物避让时，如果障碍物位置不确定，约束可能变成非凸的。这时候需要做一些近似处理，把问题转化成凸优化。

我个人总结了几点凸优化在速度规划中的优势：

我曾经踩过一个坑：用非凸优化做速度规划，结果在高速场景下，求解器偶尔会给出一个急加速再急减速的方案，虽然数学上可行，但实际驾驶体验极差。换成凸优化后，这种问题再也没出现过。

这张图展示了凸优化在速度规划中的完整流程。从输入道路信息和车辆状态开始，经过凸优化建模（确定目标函数和约束条件），然后交给求解器求解，最终输出最优速度曲线。约束条件会反馈到建模环节，形成一个闭环。

好了，关于凸优化的基础就讲到这里。记住一句话：能用凸优化解决的问题，尽量用凸优化。它会让你的代码更稳定、更高效、更容易维护。

核心总结：凸优化 = 凸目标函数 + 凸约束条件 → 全局最优解。LP和QP是两种最常用的凸优化形式，速度规划中优先考虑QP。

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