第二节：运动学与动力学基础

说实话，做规划控制这些年，我见过太多人一上来就怼复杂的动力学模型。结果呢？调参调到怀疑人生，车还是跑得歪歪扭扭。我个人习惯是——先把运动学模型吃透，再慢慢引入动力学。今天咱们就聊聊这个基础中的基础。

2.1 车辆运动学模型（自行车模型）

为什么叫自行车模型？你想想看，自行车只有两个轮子，前轮转向，后轮驱动。把四轮汽车简化成这个形式，其实挺合理的。我在实际项目中，90%以上的低速场景都用这个模型，够用，还快。

核心假设就两条：

• 车辆在平面上运动，忽略垂向跳动
• 轮胎侧偏角为零，即车轮方向就是速度方向

状态量通常取 [x, y, θ, v, δ]，其中：

• x, y —— 后轴中心位置
• θ —— 航向角
• v —— 纵向速度
• δ —— 前轮转角

微分方程长这样：

dx/dt = v * cos(θ)
dy/dt = v * sin(θ)
dθ/dt = v * tan(δ) / L
dv/dt = a
dδ/dt = ω

其中 L 是轴距，a 是加速度，ω 是转向角速度。嗯，这里要注意——tan(δ) 在 δ 接近 ±90° 时会爆炸，所以实际中我们会限制最大转角。

2.2 动力学模型简介

运动学模型假设轮胎不打滑，但车速一上来（比如超过 10m/s），这个假设就不成立了。这时候就得请出动力学模型。

我记得有一次做高速避障项目，用运动学模型规划的轨迹，实车一跑就偏。查了半天，原来是轮胎侧偏角在作怪。从那以后，高速场景我必用动力学模型。

简化的二自由度动力学模型状态量：

状态: [x, y, θ, v, β, ω]
输入: [a, δ]

其中 β 是质心侧偏角，ω 是横摆角速度。微分方程：

dx/dt = v * cos(θ + β)
dy/dt = v * sin(θ + β)
dθ/dt = ω
dv/dt = a
dβ/dt = (Fyf + Fyr) / (m * v) - ω
dω/dt = (lf * Fyf - lr * Fyr) / Iz

轮胎力 Fyf 和 Fyr 通常用线性模型近似：

Fyf = -Cf * αf
Fyr = -Cr * αr

αf 和 αr 是前后轮的侧偏角，Cf、Cr 是侧偏刚度。说白了，就是轮胎越硬，侧偏角越小。

2.3 加速度与 jerk 约束

讲完了模型，咱们聊聊约束。加速度和 jerk（加加速度）是规划控制里最容易被忽视的两个东西。

为什么会这样？因为很多人在仿真里跑得飞起，一上车就晕车。乘客的舒适度，说白了就是 jerk 在作怪。

加速度约束：

• 纵向加速度：通常限制在 ±3 m/s²（舒适）到 ±5 m/s²（极限）
• 横向加速度：通常限制在 ±2 m/s²（舒适）到 ±4 m/s²（极限）
• 合成加速度：sqrt(ax² + ay²) ≤ μ * g（摩擦圆约束）

jerk 约束：

• 纵向 jerk：通常限制在 ±2 m/s³（舒适）到 ±5 m/s³（运动模式）
• 横向 jerk：通常限制在 ±1 m/s³（舒适）到 ±3 m/s³（运动模式）

在代码里怎么加约束？以纵向规划为例：

# 加速度约束
a_min ≤ a(t) ≤ a_max

# jerk 约束
j_min ≤ da/dt ≤ j_max

# 离散化形式（常用）
a[k] = (v[k] - v[k-1]) / dt
j[k] = (a[k] - a[k-1]) / dt

# 约束条件
a_min ≤ a[k] ≤ a_max
j_min ≤ j[k] ≤ j_max

嗯，这里要注意——jerk 约束会让轨迹变得更平滑，但也会增加求解时间。我一般会在舒适模式下用严格的 jerk 约束，运动模式下适当放宽。

2.4 本章知识体系

下面这张图是我自己总结的，把运动学、动力学和约束的关系理清楚了：

这张图把三者的关系说清楚了：低速用运动学，高速用动力学，不管哪种模型，加速度和 jerk 约束都得加上。少了任何一个，你的规划控制方案都会出问题。

好了，运动学和动力学的基础就聊到这儿。记住一句话——模型是工具，约束是底线。把这两样东西搞明白，规划控制就成功了一半。

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