一、二维平移变换：从矩阵到代码

各位同学，今天我们来聊聊图形学里最基础、也最容易被忽视的一个变换——平移。

说实话，我刚学图形学那会儿，觉得平移太简单了。不就是把点挪个位置吗？x加个dx，y加个dy，完事。但后来在项目中踩了坑才发现，事情没那么简单。

1.1 平移的数学本质

先看一个点 P(x, y)。要把它平移到新位置 P'(x', y')，平移向量为 (tx, ty)。

公式很简单：

x' = x + tx
y' = y + ty

嗯，这就是二维平移的全部数学原理。但问题来了——

为什么我们不能直接用矩阵乘法表示平移？

你想想看，旋转、缩放都可以写成 2×2 矩阵乘法的形式：

[x']   [a  b] [x]
[y'] = [c  d] [y]

但平移是加法，不是乘法。这就导致了一个尴尬的局面：

• 旋转：矩阵乘法
• 缩放：矩阵乘法
• 平移：矩阵加法

操作不统一，组合变换时就非常麻烦。我记得第一次做复合变换时，代码写得又臭又长，就是因为平移没法和其他变换合并成一个矩阵。

1.2 齐次坐标：一个巧妙的 trick

那怎么办？

图形学的前辈们想了个办法——给二维点加一个维度。

把点 (x, y) 变成 (x, y, 1)。这就是齐次坐标。

为什么加个 1 就能解决问题？我们来看看：

[x']   [1  0  tx] [x]
[y'] = [0  1  ty] [y]
[1 ]   [0  0  1 ] [1]

展开计算：

x' = 1·x + 0·y + tx·1 = x + tx
y' = 0·x + 1·y + ty·1 = y + ty
1  = 0·x + 0·y + 1·1  = 1

结果完全一样！但形式上变成了矩阵乘法。

1.3 齐次坐标的几何意义

你可能会问：为什么是 1，不是 2 或 3？

其实齐次坐标 (x, y, w) 对应的是二维空间中的点 (x/w, y/w)。当 w=1 时，就是普通的点。当 w=0 时，表示无穷远处的点——也就是方向向量。

我个人习惯把 w 理解为「缩放因子」。w=1 是标准状态，w=0 是方向，w≠1 时可以通过归一化转回标准状态。

1.4 代码实现：Python + NumPy

理论说完了，上代码。我用 NumPy 实现一个完整的二维平移变换。

import numpy as np

def translation_matrix(tx, ty):
    """
    生成二维平移矩阵（齐次坐标形式）
    tx: x方向平移量
    ty: y方向平移量
    """
    return np.array([
        [1, 0, tx],
        [0, 1, ty],
        [0, 0, 1]
    ])

def apply_transform(points, matrix):
    """
    对点集应用变换
    points: 形状为 (N, 2) 的数组，每行是一个二维点
    matrix: 3x3 变换矩阵
    """
    # 转换为齐次坐标
    ones = np.ones((points.shape[0], 1))
    homo_points = np.hstack([points, ones])  # (N, 3)
    
    # 应用变换
    transformed = homo_points @ matrix.T  # 注意矩阵乘法顺序
    
    # 转回二维坐标
    return transformed[:, :2]

# 示例：平移一个三角形
triangle = np.array([
    [0, 0],
    [1, 0],
    [0.5, 1]
])

T = translation_matrix(2, 3)
triangle_translated = apply_transform(triangle, T)

print("原始三角形顶点：")
print(triangle)
print("\n平移后三角形顶点：")
print(triangle_translated)

运行结果：

原始三角形顶点：
[[0.  0. ]
 [1.  0. ]
 [0.5 1. ]]

平移后三角形顶点：
[[2. 3.]
 [3. 3.]
 [2.5 4.]]

每个点的 x 加了 2，y 加了 3，完美。

1.5 避坑指南

我曾经在项目里犯过一个低级错误——矩阵乘法的顺序搞反了。

NumPy 中，如果你用 matrix @ points，要求 matrix 的列数等于 points 的行数。但我们的 points 是 (N, 3)，matrix 是 (3, 3)，直接乘会报错。

正确的做法是 points @ matrix.T，或者把 points 转置成 (3, N) 再乘。

1.6 本章知识体系

下面这张图总结了二维平移变换的核心逻辑：

1.7 总结

二维平移变换看似简单，但引出了图形学中一个非常重要的概念——齐次坐标。

• 平移的数学本质：加法运算，无法用 2×2 矩阵表示
• 齐次坐标：给二维点加一个维度 w，w=1 表示点，w=0 表示方向
• 平移矩阵：3×3 矩阵，左上角是单位矩阵，右上角是平移量
• 代码实现：用 NumPy 操作 3×3 矩阵，注意乘法顺序

说实话，齐次坐标这个概念我当初学的时候也觉得有点绕。但用多了就会发现，它真的是图形学里最优雅的设计之一。后面讲旋转、缩放、复合变换时，你会越来越体会到它的好处。

好，这一章就到这里。代码部分建议你亲自跑一遍，改改参数看看效果。实践出真知嘛。