第1章：基础数学知识回顾

各位同学好，我是这门课的主讲人。在正式开始讲坐标变换之前，我想先带大家回顾一下那些最基础的数学工具。说实话，我刚开始学图形学的时候，总觉得这些数学概念太抽象，不知道学了有什么用。直到后来做项目时被坑了几次，才明白——这些基础不牢，后面真的会摔得很惨。

这一章我们不讲复杂公式，只聊几个核心概念：向量、点积、叉积、矩阵乘法、单位矩阵和逆矩阵。嗯，都是老朋友了，但咱们换个角度重新认识一下它们。

向量是什么？说白了，就是一个有方向、有长度的量。在二维空间里，我们用 (x, y) 表示；三维空间里用 (x, y, z) 表示。

我个人习惯把向量想象成一根箭头——从原点指向某个位置。比如向量 v = (3, 4)，就是从原点指向 (3, 4) 这个点。

向量的长度（模）：|v| = sqrt(x² + y² + z²)

单位向量：长度为1的向量，用 v / |v| 得到。

我在项目中遇到过一个问题：做相机旋转时，忘记把方向向量归一化，结果画面越转越歪。后来排查了半天才发现是向量长度不对。所以记住：涉及方向的地方，先归一化再说。

点积的公式很简单：

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

但它的几何意义更有意思：a · b = |a| |b| cosθ，其中 θ 是两个向量的夹角。

你想想看，如果两个向量方向相同，cosθ = 1，点积最大；如果垂直，cosθ = 0，点积为0；如果相反，cosθ = -1，点积为负。

实用技巧：点积可以用来判断两个向量是否大致同向。比如在光照计算中，用光线方向与法线的点积来判断表面是否被照亮。

我曾经在做一个AR项目时，需要判断用户是否正对着某个标记物。用点积算一下相机朝向和标记物方向，大于0.8就算对准了——简单又高效。

叉积只适用于三维向量。它的结果是一个新向量，垂直于原来的两个向量。

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

叉积的长度等于 |a| |b| sinθ，也就是两个向量围成的平行四边形面积。

注意：叉积不满足交换律！a × b = -(b × a)。方向由右手定则决定。

我曾经在写骨骼动画时，把叉积顺序搞反了，结果角色的手臂直接扭到了背后……调试了整整一个下午。

叉积最常见的用途是：已知两个不共线的向量，求它们的法向量。比如在三维建模中，用三角形的两条边做叉积，就能得到该面的法线方向。

矩阵乘法是坐标变换的核心操作。一个点经过旋转、缩放、平移，本质上就是用一个矩阵去乘这个点的坐标向量。

规则很简单：左矩阵的行 × 右矩阵的列。

假设 A 是 3×3 矩阵，B 是 3×1 向量：
C[i] = Σ A[i][j] * B[j]   (j从0到2)

关键点：矩阵乘法不满足交换律！AB ≠ BA。变换的顺序很重要。

先旋转再平移 ≠ 先平移再旋转。这个坑我踩过不止一次。

我建议你在写代码时，把变换矩阵的乘法顺序写在注释里，比如：// 先旋转，再平移：M = T * R。这样半年后回来看代码，还能记得当初的逻辑。

单位矩阵 I：对角线全是1，其余全是0。任何矩阵乘以单位矩阵，结果不变。就像数字1在乘法中的作用。

I₃ = [1 0 0]
     [0 1 0]
     [0 0 1]

逆矩阵 A⁻¹：满足 A * A⁻¹ = I。它的作用是"撤销"变换。比如你把一个物体旋转了30度，用逆矩阵就能把它转回去。

实用场景：在相机变换中，我们经常需要把世界坐标转换到相机坐标。这个转换矩阵的逆矩阵，就是相机在世界空间中的位置和朝向。

计算逆矩阵的方法有很多，比如伴随矩阵法、高斯消元法。但在实际项目中，我建议直接用现成的数学库（如 numpy、glm）来算。手写逆矩阵？除非你在写教学代码，否则别自找麻烦。

注意：不是所有矩阵都有逆矩阵。行列式为0的矩阵（奇异矩阵）不可逆。比如你把一个三维物体压扁成一个平面，这个变换矩阵就没有逆矩阵——因为信息丢失了，无法恢复。

下面我用一张图来总结本章的核心逻辑：

这一章我们回顾了六个基础概念。说实话，这些内容看起来简单，但真正用好它们需要大量实践。我建议你打开 Python 或 NumPy，亲手算几个例子：

嗯，动手做一遍，比看十遍公式都管用。下一章我们就要开始真正的坐标变换了——从二维到三维，从旋转到平移，一步步来。

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