3. Buck变换器小信号建模

要设计一个稳定的数字电压环，第一步不是写代码，而是拿到被控对象的传递函数。Buck变换器是开关非线性系统，直接列写时变微分方程无法使用经典线性控制理论。工程上采用状态空间平均法：在一个开关周期内对两个子区间加权平均，得到连续时间平均模型，再在稳态工作点附近做小信号扰动与线性化，最终得到控制到输出电压的传递函数 Gvd(s)。本节按“平均—扰动—线性化—等效电路—传函”的顺序展开，并重点解释右半平面零点与 LC 双极点的物理来源。

一、状态空间平均：从两个子区间到一个平均模型

以连续导通模式（CCM）的 Buck 为例，取电感电流 iL 与电容电压 vC 为状态变量，输入电压 vg、输出电压 vo 为端口量。开关管导通时（占空比 d，时长 dTs），电感左端接 vg，右端接 vo；开关管关断时（时长 d'Ts，d'=1−d），电感左端经续流二极管接地，右端仍接 vo。两个子区间的状态方程分别为：

导通区间:  L·diL/dt = vg − vo
           C·dvo/dt = iL − vo/R

关断区间:  L·diL/dt = −vo
           C·dvo/dt = iL − vo/R

状态空间平均法用占空比加权：把两个区间的方程按 d 与 d' 相加，得到平均方程 L·diL/dt = d·vg − vo，C·dvo/dt = iL − vo/R。这一步的物理含义是：电感在一个周期内“看到”的平均电压等于 d·vg 减去 vo。注意平均模型只保留低频分量，开关纹波被丢弃，因此它只在远低于开关频率 fs 的频段有效，通常要求分析带宽低于 fs/10。

二、交流小信号扰动与线性化

设稳态工作点为 D、IL、Vo，叠加小信号扰动：d = D + d̂，vg = Vg + v̂g，iL = IL + îL，vo = Vo + v̂o。代入平均方程并分离直流项与交流项。直流项给出稳态关系 Vo = D·Vg、IL = Vo/R；交流项中会出现 d̂·v̂g 这类二阶小量，线性化时忽略，得到小信号方程：

L·dîL/dt = D·v̂g + Vg·d̂ − v̂o
C·dv̂o/dt = îL − v̂o/R

这两个方程就是后续所有推导的出发点。可以看到，控制量 d̂ 通过 Vg·d̂ 这一项进入电感方程，相当于在电感左端叠加了一个受控电压源 Vg·d̂；输入扰动 v̂g 则通过 D·v̂g 进入。这就是“交流小信号等效电路”的由来。

三、控制到输出电压传递函数 Gvd(s)

令输入扰动 v̂g = 0，只保留 d̂ 激励。对两个小信号方程做拉普拉斯变换：

sL·îL(s) = Vg·d̂(s) − v̂o(s)
sC·v̂o(s) = îL(s) − v̂o(s)/R

由第二式得 îL = (sC + 1/R)·v̂o，代入第一式消去 îL，整理得到：

Gvd(s) = v̂o(s)/d̂(s) = Vg / [ s²LC + sL/R + 1 ]

写成标准二阶形式 Gvd(s) = Vg / [1 + s/(Q·ω0) + (s/ω0)²]，其中 ω0 = 1/√(LC) 为 LC 谐振角频率，Q = R·√(C/L) 为品质因数。这就是 Buck 的LC 双极点：在 f0 = ω0/2π 处增益出现峰值（Q 越大峰越高），相位快速下降接近 180°。以 L=10 μH、C=100 μF 为例，f0 ≈ 5.03 kHz；若 R=1 Ω，则 Q ≈ 3.16，谐振峰约 10 dB，相位在 f0 附近陡降，是环路补偿必须重点处理的频段。

四、右半平面零点：Boost 与 Buck-Boost 的固有难题

Buck 的 Gvd(s) 只有双极点，没有零点，因此相位最恶劣时约 −180°，补偿相对容易。但 Boost 与 Buck-Boost 在 CCM 下会出现右半平面零点（RHPZ），其典型形式为：

Gvd(s) = Vg·(1 − s/ωz) / [1 + s/(Q·ω0) + (s/ω0)²]
ωz = R·(1−D)² / L   （Boost）

RHPZ 的幅频特性与左半平面零点相同（+20 dB/dec 上升），但相频特性相反：它带来相位滞后而非超前，且频率越高滞后越接近 −90°。物理原因是：占空比增大时，电感储能时间变长，瞬时输出电流反而先减小，输出电压先跌后升，形成“反向”响应。这决定了 Boost 类变换器的穿越频率必须远低于 ωz，通常取 fc < ωz/3～ωz/5，否则相位裕度无法保证。数字控制中若采样与计算延迟再叠加，RHPZ 的约束会更紧。

五、从模型到数字环路：关键参数与判断依据

拿到 Gvd(s) 后，数字补偿器设计需要关注三个量：LC 双极点频率 f0、品质因数 Q、以及是否存在 RHPZ。工程上常用以下检查表快速评估被控对象：

小结：状态空间平均把开关系统变成连续线性模型；小信号扰动与线性化得到交流等效电路；由等效电路推出 Gvd(s) = Vg/[s²LC + sL/R + 1]，其核心特征是 LC 双极点与 Q 值；Boost/Buck-Boost 额外引入 RHPZ，带来相位滞后并限制带宽。理解这两类极点/零点的物理来源，是后续数字补偿器设计与参数整定的基础。