2. Buck变换器稳态建模

数字控制器要控制一个对象，首先必须知道这个对象“长什么样”。对Buck变换器而言，这个“样子”就是它的稳态输入输出关系：给定输入电压 Vin、占空比 D、开关频率 fs、电感 L、输出电容 C 和负载 R，输出电压 Vout 是多少，电感电流纹波 ΔiL 有多大，输出电压纹波 ΔVout 有多大。这些量构成了数字控制器设计时的被控对象模型基础。本节从连续导通模式（CCM）和断续导通模式（DCM）两种工作状态出发，建立这些稳态关系，并说明它们对数字控制器的实际意义。

一、CCM下的基本关系

在CCM下，电感电流在整个开关周期内始终大于零。设开关周期为 Ts = 1/fs，占空比为 D，则导通时间为 Ton = D·Ts，关断时间为 Toff = (1-D)·Ts。

根据电感伏秒平衡，稳态时电感两端电压在一个周期内的平均值为零。导通期间，电感电压为 Vin - Vout；关断期间，电感电压为 -Vout（忽略二极管压降和开关管压降）。因此有：

(Vin - Vout)·D·Ts + (-Vout)·(1-D)·Ts = 0
=> Vout = D·Vin

这就是CCM下Buck变换器的理想电压增益。它说明输出电压与占空比成线性关系，与负载电流无关。这是Buck变换器最核心的稳态特性，也是数字控制器设计时最基础的被控对象模型。

电感电流纹波由导通期间电感电压和电感量决定：

ΔiL = (Vin - Vout)·D·Ts / L = Vout·(1-D)·Ts / L

可以看出，电感电流纹波与输入输出电压差、占空比、开关周期成正比，与电感量成反比。在数字控制器设计中，ΔiL 决定了电流环采样和电流保护阈值的设置。通常希望 ΔiL 为额定输出电流的20%～40%。

输出电容电压纹波主要由电感电流纹波对电容的充放电引起。在CCM下，电容电流为电感电流减去负载电流，其交流分量近似为三角波。输出电压纹波可近似为：

ΔVout ≈ ΔiL / (8·C·fs)

该式说明，要减小输出电压纹波，可以增大电容、提高开关频率或减小电感电流纹波。数字控制器的电压采样精度和ADC分辨率必须能够分辨这个纹波，否则控制环路会引入噪声。

二、DCM下的电压增益变化

当负载电流减小到一定程度，电感电流在关断期间会降到零，并保持为零直到下一个开关周期开始，此时变换器进入DCM。DCM下，电感电流波形由三段组成：导通上升段、关断下降段和零电流段。

设电感电流下降到零所需的时间为 Toff' = D2·Ts，则DCM下电压增益不再等于 D，而是与负载、电感、频率都有关。由伏秒平衡和电荷平衡可以推导出：

Vout = Vin · D² / (D² + K)
其中 K = 2·L·fs / R

或者写成更常见的形式：

Vout/Vin = 2 / (1 + sqrt(1 + 4K/D²))

这个关系说明，在DCM下，输出电压不仅与占空比有关，还与负载电阻、电感量和开关频率有关。当负载变轻时，K 增大，电压增益下降。如果数字控制器仍然按照CCM的 Vout = D·Vin 来设计，就会在轻载时出现输出电压偏高或控制失稳。

判断CCM与DCM的边界条件为：

Iout_crit = ΔiL / 2 = Vout·(1-D)·Ts / (2L)

当输出电流大于 Iout_crit 时，变换器工作在CCM；小于时进入DCM。数字控制器需要根据负载电流实时判断工作模式，并切换相应的控制模型。

三、开关频率与占空比的约束关系

开关频率 fs 和占空比 D 共同决定了导通时间 Ton = D/fs。数字控制器通常由PWM模块产生开关信号，其时间分辨率受计数器时钟频率 fclk 限制。占空比的最小可调步进为：

D_step = fs / fclk

例如，fs = 200kHz，fclk = 100MHz，则 D_step = 0.002，即占空比分辨率为0.2%。如果 D 很小，例如 D = 0.05，则实际可用的占空比档位只有25级，控制精度会明显下降。因此，数字控制器设计时需要保证 fclk/fs 足够大，通常要求至少1000以上。

此外，开关频率还影响控制环路的带宽。数字控制器的采样频率通常等于开关频率或开关频率的一半。根据奈奎斯特采样定理，控制环路带宽应小于采样频率的一半。对于Buck变换器，通常将电压环带宽设计在 fs/10 到 fs/5 之间，电流环带宽可以更高一些。

四、稳态模型对数字控制器的意义

上述稳态关系构成了数字控制器设计的基础。具体来说：

• Vout = D·Vin 用于设计电压环的前馈补偿，使控制器在输入电压变化时快速调整占空比。
• ΔiL 用于设置电流环的采样时刻和电流保护阈值。通常在每个开关周期中点采样电感电流，此时电流接近平均值。
• ΔVout 用于确定ADC的分辨率和电压环的滤波参数。如果纹波小于ADC的1个LSB，则无需额外滤波；否则需要设计数字滤波器。
• CCM/DCM边界用于模式切换逻辑。当检测到 Iout < Iout_crit 时，控制器应切换到DCM模型或进入跳周期模式。
• D_step 用于评估PWM分辨率是否满足控制精度要求。如果分辨率不足，需要提高 fclk 或降低 fs。

下面用一张图总结CCM与DCM下Buck变换器的关键稳态关系及其对数字控制器设计的影响。

五、教学示例：参数计算与判断

假设一个Buck变换器参数为：Vin = 12V，Vout = 5V，fs = 200kHz，L = 10μH，C = 220μF，额定负载 R = 2.5Ω（即 Iout = 2A）。

首先计算CCM下的占空比：D = Vout/Vin = 5/12 ≈ 0.417。

电感电流纹波：ΔiL = 5 × (1-0.417) / (200k × 10μ) = 5 × 0.583 / 2 = 1.458A。

边界电流：Iout_crit = 1.458/2 = 0.729A。额定负载2A大于0.729A，因此工作在CCM。

输出纹波：ΔVout ≈ 1.458 / (8 × 220μ × 200k) = 1.458 / 352 ≈ 4.14mV。

如果负载减小到0.5A，则 Iout < Iout_crit，进入DCM。此时若仍按CCM模型计算，D = 0.417 对应的输出电压会高于5V。实际DCM下，需要重新计算占空比。由 K = 2 × 10μ × 200k / 5 = 0.8，代入DCM增益公式可解得 D ≈ 0.31。数字控制器需要检测到这一变化并调整占空比，或者切换到DCM控制模式。

六、小结