3. 经济调度问题的数学建模

经济调度（Economic Dispatch, ED）要回答的核心问题是：在满足系统有功功率平衡和机组出力上下限约束的前提下，如何把总负荷分配给各台在线机组，使总发电成本最小。与机组组合（UC）相比，ED 不决定机组启停，只决定已开机机组之间的功率分配，因此它是一个连续变量优化问题，通常可写成非线性规划或二次规划模型。本节围绕有功经济调度模型、网损处理方式、发电成本函数、阀点效应和多燃料选项这几个实际建模要素展开。

一、有功经济调度的基本模型

设系统中有 N 台在线机组，第 i 台机组的有功出力为 P_i（MW），系统总负荷为 P_D（MW），网络总有功损耗为 P_loss（MW）。忽略网损时，功率平衡约束为：

Σ P_i = P_D          (i = 1, 2, ..., N)
P_i,min ≤ P_i ≤ P_i,max

目标函数为总发电成本最小：

min F = Σ F_i(P_i)

其中 F_i(P_i) 是第 i 台机组的发电成本函数。若考虑网损，则功率平衡约束变为 ΣP_i = P_D + P_loss。这一约束的引入会显著改变最优解的结构，因为网损本身是各机组出力的函数。

从数学性质看，若成本函数为二次凸函数且不考虑网损，则 ED 是一个凸二次规划问题，最优解满足等微增率准则：所有机组（在未越限时）的边际成本相等。若某台机组出力达到上限或下限，则该机组退出等微增率匹配，其余机组继续按等微增率分配。这一判断逻辑是理解 ED 解结构的关键。

二、网损处理方式

网损处理是 ED 建模中最容易出问题的环节。常见做法有三类：

• 忽略网损：适用于输电网络较短、负荷与电源电气距离近、损耗占比很小的场景。模型简单，但结果可能偏离实际。
• B 系数法（Kron 损耗公式）：将网损表示为机组出力的二次型 P_loss = P^TBP + B₀P + B₀₀，其中 B、B₀、B₀₀ 为损耗系数矩阵和向量。该方法计算量小，适合在线调度，但系数需根据网络结构和运行方式离线拟合，精度有限。
• 潮流嵌入法：把交流潮流方程直接作为约束嵌入优化模型，网损由潮流计算自然给出。精度高，但模型规模大、非线性强，通常用于离线分析或安全约束经济调度（SCED）。

实际工程中，若只做日前发电计划，B 系数法往往足够；若需要校核线路越限和电压约束，则应采用潮流嵌入法。选择哪种方式，取决于调度周期、精度要求和计算资源。

三、发电成本函数

火电机组的成本主要来自燃料消耗。最常用的成本函数是二次函数：

F_i(P_i) = a_i P_i² + b_i P_i + c_i   (元/h)

其中 a_i、b_i、c_i 为第 i 台机组的成本系数，通常由机组热耗曲线拟合得到。a_i 反映边际成本随出力上升的加速趋势，b_i 反映线性燃料成本，c_i 为空载成本。若机组存在最小技术出力，则 P_i,min 通常取额定容量的 30%～50%。

当需要更精细地描述效率变化时，也可采用三次函数或分段线性函数。分段线性函数在混合整数线性规划中很常见，因为它可以把非线性成本转化为线性约束，便于求解器处理。

四、阀点效应

汽轮机进汽阀在部分开启时会产生节流损失，使实际热耗曲线出现周期性波动，这种现象称为阀点效应（Valve-Point Effect）。它表现为成本函数上叠加一个正弦项：

F_i(P_i) = a_i P_i² + b_i P_i + c_i + |e_i sin(f_i (P_i,min − P_i))|

其中 e_i、f_i 为阀点效应系数。加入这一项后，成本函数不再凸，可能出现多个局部极小点。此时等微增率准则不再直接适用，需要采用动态规划、遗传算法、粒子群等全局优化方法，或在凸化处理后用分支定界求解。工程上，若阀点效应引起的成本波动小于总成本的 1%，有时可忽略；若机组长期在阀点附近运行，则必须考虑。

五、多燃料选项

部分机组可切换燃料（如燃气—燃油双燃料机组），不同燃料的成本系数不同，且存在切换点。此时成本函数变为分段形式：

F_i(P_i) = a_i1 P_i² + b_i1 P_i + c_i1 ,  P_i,min ≤ P_i ≤ P_i,switch
F_i(P_i) = a_i2 P_i² + b_i2 P_i + c_i2 ,  P_i,switch ≤ P_i ≤ P_i,max

建模时需引入 0-1 变量表示燃料选择，或采用分段线性化处理。多燃料选项使 ED 从连续优化变为混合整数非线性规划，求解难度上升，但更贴近实际运行。

六、建模要素的组合与求解选择

把上述要素组合起来，ED 模型的复杂度会逐级上升。只考虑二次成本函数和功率平衡时，模型是凸二次规划，可用等微增率法或二次规划求解器快速求解。加入网损后，若采用 B 系数法，目标函数仍可保持凸性，但约束变为二次等式，需用拉格朗日乘子法迭代求解。加入阀点效应后，目标函数非凸，等微增率法失效，需要全局优化算法。再加入多燃料选项，模型变为混合整数非线性规划，求解时间显著增加。

实际调度中，一个常见的折中做法是：日前计划阶段采用忽略网损或 B 系数法的凸模型，快速得到机组出力计划；实时调度阶段再引入潮流约束进行安全校核和再调度。这样既保证了计算速度，又兼顾了网络安全性。

总结来说，经济调度建模不是把公式堆在一起，而是要根据实际机组的成本特性、网络条件和调度精度要求，选择合适的功能模块和求解策略。二次成本函数是基础，网损处理决定模型精度，阀点效应和多燃料选项则决定模型是否非凸、是否混合整数。理解这些要素之间的取舍关系，才能在实际调度中既算得快、又算得准。