2. 机组组合问题的数学建模

机组组合（Unit Commitment, UC）的本质，是在一个调度周期（通常为24小时，分为24个时段）内，决定每台机组在每个时段“开还是停”，以及开机后“发多少功率”。它同时包含0-1的启停决策和连续的出力决策，因此是一个混合整数优化问题。本节把UC模型拆成六个核心构件：目标函数、功率平衡、出力上下限、最小启停时间、爬坡约束、备用约束，逐一给出数学表达并解释其物理含义。

一、符号约定与决策变量

设系统有 N 台机组，调度时段为 t = 1, 2, …, T。定义三类决策变量：

• 启停状态 u_i,t ∈ {0,1}：机组 i 在时段 t 是否处于运行状态，1为运行，0为停机。
• 启动动作 v_i,t ∈ {0,1}：机组 i 在时段 t 是否由停转开（启动）。
• 停机动作 w_i,t ∈ {0,1}：机组 i 在时段 t 是否由开转停（停机）。
• 出力 p_i,t ≥ 0：机组 i 在时段 t 的有功出力（MW）。

三者满足状态转移关系：u_i,t − u_i,t−1 = v_i,t − w_i,t。该式保证启停动作与状态变化一致，且同一时段不会既启动又停机。

二、目标函数：最小化总运行成本

UC的目标是使调度周期内的总成本最小，通常由三部分组成：

min F = Σ_t=1..T Σ_i=1..N [ C_i(p_i,t) · u_i,t + SU_i · v_i,t + SD_i · w_i,t ]

其中 C_i(p) 为燃料成本函数，工程上常取二次函数 C_i(p) = a_i + b_ip + c_ip²，也可分段线性化后用于混合整数线性规划；SU_i、SD_i 分别为单次启动、停机成本。物理含义是：运行机组按出力大小消耗燃料，启停则带来额外的设备损耗与人工成本，因此模型倾向于让大容量、低煤耗机组多带基荷，让调节灵活的小机组承担峰谷变化。

三、系统功率平衡约束

每个时段，所有开机机组的出力之和必须等于系统负荷 D_t（忽略网损时）：

Σ_i=1..N p_i,t = D_t, ∀t

这是UC中最基本的等式约束，物理含义是“发电即用、即发即用”。若考虑网损 P_loss,t，则右端改为 D_t + P_loss,t。该约束把负荷曲线与机组出力直接绑定，是决定开停机数量的关键。

四、机组出力上下限约束

机组一旦运行，其出力必须落在技术最小出力和最大出力之间：

u_i,t · P_i^min ≤ p_i,t ≤ u_i,t · P_i^max, ∀i,t

当 u_i,t=0 时，上下限同时为0，出力被强制为0；当 u_i,t=1 时，出力被限制在 [P_i^min, P_i^max]。物理含义是：火电机组受锅炉稳燃、汽轮机最小进汽量限制，不能无限低负荷运行；同时受额定容量限制，不能超发。

五、最小启停时间约束

机组不能频繁启停，需满足最小连续运行时间 T_i^on 和最小连续停机时间 T_i^off：

Σ_{τ=t−Ti^on+1..t} v_i,τ ≤ u_i,t, ∀i,t

Σ_{τ=t−Ti^off+1..t} w_i,τ ≤ 1 − u_i,t, ∀i,t

第一式表示：若机组在时段 t 运行，则过去 T_i^on 个时段内启动次数不能超过1次，即一旦启动必须连续运行足够长时间；第二式同理约束停机。物理含义是避免锅炉、汽轮机因热应力反复启停而损坏，也避免启动成本被频繁触发。

六、爬坡约束

机组相邻时段出力变化不能超过其爬坡能力：

p_i,t − p_i,t−1 ≤ RU_i · u_i,t−1 + SU_i^ramp · v_i,t

p_i,t−1 − p_i,t ≤ RD_i · u_i,t + SD_i^ramp · w_i,t

其中 RU_i、RD_i 为正常运行时的上、下爬坡速率（MW/h），SU_i^ramp、SD_i^ramp 为启动、停机过程中的允许爬坡。物理含义是：锅炉燃烧率、汽轮机阀门开度变化有速率上限，出力不能瞬间跳变。该约束把相邻时段耦合起来，是UC区别于静态经济调度的关键。

七、备用约束

为应对负荷预测误差和机组强迫停运，系统需保留一定旋转备用：

Σ_i=1..N u_i,t · P_i^max ≥ D_t + R_t^up

Σ_i=1..N u_i,t · P_i^min ≤ D_t − R_t^dn

第一式要求开机机组的最大可发容量在满足负荷后仍有余量 R_t^up，即上备用；第二式要求开机机组的最小出力之和不超过负荷减去下备用，保证低谷时段能压得下去。物理含义是：系统既要有“往上顶”的能力，也要有“往下压”的能力，否则会出现弃风或被迫停机。

八、一个可手算的示例

设两台机组，T=3，负荷 D = [150, 250, 180] MW。机组参数如下：

若初始 G1 已运行、G2 停机，且上备用要求 R_t^up = 40 MW。时段1负荷150 MW，若只开 G1，则 G1 出力150 MW，满足平衡；但上备用要求开机容量 ≥ 150+40=190 MW，G1 的 Pmax=200 MW，满足。时段2负荷250 MW，G1 单独最大200 MW，不够，必须启动 G2。此时 G1 可发150 MW、G2 发100 MW，总250 MW，且 G2 从0升到100 MW，受 RU=60 MW/h 限制，若时段1 G2 已启动并带40 MW，则时段2最多升到100 MW，恰好可行。这说明爬坡约束会反过来影响“提前多久开机”的决策。

综上，UC模型的目标函数决定“优化什么”，功率平衡决定“供需匹配”，出力上下限决定“单机能力”，最小启停时间决定“时间连续性”，爬坡约束决定“动态响应能力”，备用约束决定“可靠性裕度”。六者共同构成一个混合整数优化问题，缺一不可。