3. Weibull分布的统计特性：均值、方差、中位数、众数、失效率函数

Weibull分布之所以在可靠性工程与寿命数据分析中占据核心地位，很大程度上归功于其丰富的统计特性。通过调整形状参数 β 和尺度参数 η，Weibull分布能够灵活地模拟不同阶段的失效模式。本节将系统推导并解释其关键统计量：均值、方差、中位数、众数以及失效率函数。

3.1 概率密度函数与累积分布函数回顾

在深入统计特性之前，先明确两参数Weibull分布的标准数学表达。设随机变量 T 服从Weibull分布，其概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）分别为：

PDF:  f(t) = (β/η) * (t/η)^(β-1) * exp[-(t/η)^β],  t ≥ 0, β > 0, η > 0
CDF:  F(t) = 1 - exp[-(t/η)^β]

其中：

• β（形状参数）：决定分布曲线的形状，β < 1 时失效率递减（早期失效），β = 1 时退化为指数分布（恒定失效率），β > 1 时失效率递增（耗损失效）。
• η（尺度参数）：也称为特征寿命，表示63.2%的个体失效的时间点，即 F(η) = 1 - e⁻¹ ≈ 0.632。

3.2 均值（期望寿命）

Weibull分布的均值 E(T) 表示平均失效时间（MTTF），其计算公式涉及Gamma函数：

E(T) = η * Γ(1 + 1/β)

其中 Γ(·) 为Gamma函数，定义为 Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x-1) e⁻ᵗ dt。Gamma函数在 β 取特定值时具有简洁形式：

3.3 方差与标准差

方差衡量寿命数据的离散程度，其表达式为：

Var(T) = η² * [Γ(1 + 2/β) - Γ²(1 + 1/β)]
标准差 SD(T) = η * √[Γ(1 + 2/β) - Γ²(1 + 1/β)]

方差随 β 的变化呈现明显规律：当 β 较小时（β < 1），数据高度分散，方差较大；当 β 增大时，分布逐渐集中，方差减小。下表给出不同 β 下的标准化方差（Var/η²）：

3.4 中位数

中位数是寿命数据中50%个体失效的时间点，具有稳健性，不易受极端值影响。由CDF定义 F(t₅₀) = 0.5 可直接推导：

0.5 = 1 - exp[-(t₅₀/η)^β]
→ exp[-(t₅₀/η)^β] = 0.5
→ (t₅₀/η)^β = -ln(0.5) = ln(2)
→ t₅₀ = η * [ln(2)]^(1/β)

中位数与均值的比值 t₅₀ / E(T) 反映了分布的偏斜程度：

• 当 β = 1 时，t₅₀ = η·ln(2) ≈ 0.693η，均值 = η，中位数小于均值，分布右偏。
• 当 β = 2 时，t₅₀ = η·√(ln2) ≈ 0.833η，均值 ≈ 0.886η，两者接近。
• 当 β = 3.5 时，t₅₀ ≈ η·(0.693)^(1/3.5) ≈ 0.901η，均值 ≈ 0.900η，几乎对称。

3.5 众数

众数是PDF取最大值时对应的时间点，表示最可能发生失效的时刻。通过对PDF求导并令导数为零，得到众数表达式：

当 β > 1 时：t_mode = η * [(β - 1)/β]^(1/β)
当 β ≤ 1 时：t_mode = 0（PDF在 t=0 处单调递减）

众数的存在性直接反映了失效模式：

• β ≤ 1：失效率非增，失效概率在初始时刻最高，众数为0。适用于早期失效或随机失效。
• β > 1：失效率递增，存在一个非零的众数，表明产品在经历一段“磨合期”后进入耗损阶段，失效概率先增后减。

3.6 失效率函数

失效率函数（Hazard Function）是可靠性工程中最具实际意义的统计量，定义为在时刻 t 尚未失效的产品，在下一瞬间发生失效的条件概率密度：

h(t) = f(t) / R(t) = f(t) / [1 - F(t)]

代入Weibull的PDF和可靠度函数 R(t) = exp[-(t/η)^β]，得到简洁形式：

h(t) = (β/η) * (t/η)^(β-1)

失效率函数的三种基本形态直接对应产品的生命周期阶段：

3.7 统计特性关系图

下图展示了Weibull分布各统计量随形状参数 β 的变化趋势，以及失效率函数的三种基本形态：

3.8 统计特性速查表

为便于工程应用，下表汇总了Weibull分布所有关键统计量的计算公式：