2. Weibull分布的概率密度函数(PDF)与累积分布函数(CDF)
Weibull分布是可靠性工程与寿命数据分析中最核心的分布之一。其数学表达由三个关键参数控制：形状参数（Shape Parameter, β）、尺度参数（Scale Parameter, η）和位置参数（Location Parameter, γ）。理解这三个参数对PDF与CDF的影响，是后续绘制Weibull概率图与进行拟合优度检验的理论基础。
2.1 三参数Weibull分布的数学表达式
三参数Weibull分布的概率密度函数（PDF）与累积分布函数（CDF）的标准形式如下：
| 函数类型 | 数学表达式 | 变量说明 |
|---|---|---|
f(t) = (β/η) · ((t-γ)/η)^(β-1) · exp(-((t-γ)/η)^β) |
t ≥ γ, β > 0, η > 0 | |
| CDF | F(t) = 1 - exp(-((t-γ)/η)^β) |
t ≥ γ, β > 0, η > 0 |
当位置参数 γ = 0 时，分布退化为更常用的两参数Weibull分布，这也是工程实践中应用最广的形式。
2.2 三个核心参数的含义与作用
每个参数独立控制分布曲线的不同特征，理解其物理意义是正确建模的关键。
| 参数 | 符号 | 取值范围 | 物理含义 | 对曲线的影响 |
|---|---|---|---|---|
| 形状参数 | β | β > 0 | 决定失效模式的类型（早期失效、随机失效、磨损失效） | β < 1：失效率递减（早期失效）；β = 1：失效率恒定（随机失效，等价于指数分布）；β > 1：失效率递增（磨损失效） |
| 尺度参数 | η | η > 0 | 特征寿命，表示63.2%的个体失效的时间点 | η 越大，分布整体向右平移，失效时间越晚；η 越小，失效越集中发生在早期 |
| 位置参数 | γ | γ ≥ 0 | 最小寿命，即在此之前失效概率为零 | γ 决定分布曲线在时间轴上的起始位置；γ > 0 表示存在一段无失效的“安全期” |
关键记忆点： β 控制曲线的形状（陡峭或平缓），η 控制曲线的位置缩放（整体左移或右移），γ 控制曲线的起始点（最小保证寿命）。
2.3 形状参数 β 对PDF曲线形态的影响
形状参数 β 是Weibull分布最灵活的特征。下图展示了固定 η = 1、γ = 0 时，不同 β 值下PDF曲线的变化趋势：
工程解读： β < 1 对应“早期失效期”（浴盆曲线左侧），β = 1 对应“偶然失效期”（恒定失效率），β > 1 对应“耗损失效期”（浴盆曲线右侧）。β 值越大，失效时间越集中，产品寿命的一致性越好。
2.4 尺度参数 η 与位置参数 γ 的直观理解
尺度参数 η 决定了分布沿时间轴的“拉伸”程度。当 η 增大时，PDF曲线整体向右移动且峰值降低，表示特征寿命延长。位置参数 γ 则直接平移整个分布，γ > 0 意味着在时间 γ 之前不会发生失效。
常见误区： 位置参数 γ 并非“起始时间”的简单偏移。当 γ > 0 时，CDF 在 t = γ 处从 0 开始，这意味着在 γ 之前失效概率严格为零。实际工程中，若数据中存在早期失效，强行使用 γ > 0 的模型可能导致拟合失真，建议先通过概率图判断是否需要引入 γ。
2.5 参数对CDF与失效率函数的联动影响
Weibull分布的失效率函数（Hazard Function）为：
h(t) = f(t) / (1 - F(t)) = (β/η) · ((t-γ)/η)^(β-1)该函数直接揭示了三个参数对失效动态的控制作用：
- β < 1：h(t) 随时间递减，适合描述“磨合期”或“早期失效”场景。
- β = 1：h(t) 为常数 1/η，退化为指数分布，失效率不随时间变化。
- β > 1：h(t) 随时间递增，适合描述“磨损”或“老化”过程。
- η 仅缩放失效率的幅度，不改变其趋势形状。
- γ 将失效率函数整体向右平移，在 γ 之前失效率为零。
实用口诀： β 定形状，η 定尺度，γ 定起点。三参数配合，Weibull 可以拟合从早期失效到耗损失效的全生命周期数据。
2.6 参数估计的初步思路
在实际课程项目中，我们将通过以下方法估计参数：
- 概率图法（Graphical Method）：利用Weibull概率纸，通过线性回归拟合数据点，从斜率和截距反推 β 和 η。
- 极大似然估计（MLE）：通过数值优化求解似然函数最大值，得到参数估计值，适用于高精度需求。
- 最小二乘拟合（LSF）：对CDF变换后的线性关系进行最小二乘回归，计算简便，适合教学演示。