2. 系统可靠性模型：串联、并联、混联与 k-out-of-n 系统

系统可靠性模型是可靠性工程的基础工具，它用框图与数学表达式描述系统中各单元（组件）的失效逻辑关系。在 Monte Carlo 仿真中，这些模型直接决定了如何从单元寿命分布采样并组合成系统寿命样本。本节将系统介绍四种基本结构：串联、并联、混联与 k-out-of-n 表决系统。

2.1 串联系统

定义：系统中任意一个单元失效，整个系统即失效。这是最保守、最常用的模型。

可靠性框图：所有单元在功能上首尾相连，形成一条单向通路。

数学表达式：

设系统由 \(n\) 个独立单元组成，第 \(i\) 个单元的可靠度为 \(R_i(t)\)，则系统可靠度 \(R_s(t)\) 为各单元可靠度的乘积：

R_s(t) = R_1(t) · R_2(t) · … · R_n(t) = ∏_{i=1}^{n} R_i(t)

若单元寿命服从指数分布，失效率为 \(\lambda_i\)，则：

R_s(t) = exp(-∑_{i=1}^{n} λ_i · t)

串联系统的系统失效率等于各单元失效率之和，系统平均寿命（MTTF）为 \(1 / ∑λ_i\)。

2.2 并联系统

定义：系统中所有单元都失效，系统才失效。并联结构提供冗余，是提高可靠性的主要手段。

可靠性框图：所有单元在功能上并行连接，只要有一条通路保持完好，系统就能工作。

数学表达式：

系统可靠度 \(R_s(t)\) 为 1 减去所有单元同时失效的概率：

R_s(t) = 1 - ∏_{i=1}^{n} [1 - R_i(t)]

当 \(n=2\) 且单元可靠度均为 \(R\) 时：

R_s(t) = 1 - (1 - R)² = 2R - R²

并联系统的平均寿命（MTTF）高于单个单元，冗余度越高，增益越明显。

2.3 混联系统

定义：由串联与并联结构混合组成的系统。实际工程系统几乎都是混联结构，例如：服务器集群中每个节点内部是串联（CPU、内存、电源），节点之间是并联冗余。

简化方法：从最内层子结构开始，逐层将并联块等效为单个“超级单元”，再将串联块合并，最终化为一个等效串联或并联模型。

数学表达式：混联系统没有统一的闭式公式，必须根据具体拓扑逐层推导。Monte Carlo 仿真天然适合处理混联系统——只需按框图逻辑组合各单元的寿命样本即可。

2.4 k-out-of-n 表决系统

定义：系统由 \(n\) 个单元组成，当至少有 \(k\) 个单元正常工作时，系统才能正常工作。这是工程中最通用的冗余模型，串联（\(k=n\)）和并联（\(k=1\)）是其特例。

常见类型：

• 1-out-of-n (1ooN)：纯并联，任一单元正常即可。
• 2-out-of-3 (2oo3)：三单元中至少两个正常，常用于飞机、核电安全系统。
• n-out-of-n (NooN)：纯串联，所有单元必须正常。

数学表达式（单元独立同分布，可靠度均为 \(R\)）：

R_s(t) = ∑_{i=k}^{n} C(n, i) · R(t)^i · [1 - R(t)]^{n-i}

其中 \(C(n, i) = \frac{n!}{i!(n-i)!}\) 为组合数。

当单元寿命服从指数分布且失效率不同时，表达式变得复杂，通常需要数值计算或仿真。

2.5 四种模型对比总结