1. 可靠性工程基础
可靠性工程是衡量产品/系统在规定条件下、规定时间内完成规定功能的能力。在 Monte Carlo 仿真应用于系统可靠性评估之前，必须牢固掌握以下核心概念。
1.1 可靠性的定义
可靠性（Reliability）的经典定义为：
产品在规定的条件下，在规定的时间内，完成规定功能的概率。
该定义包含四个关键要素：
- 规定条件：环境、负载、维护、操作方式等。
- 规定时间：任务时间、寿命周期、保修期等。
- 规定功能：必须明确“成功”与“失效”的判据。
- 概率：用 0~1 之间的数值度量，是统计意义上的量。
1.2 可靠度函数 R(t)
可靠度函数 R(t) 表示系统在时间 t 内正常工作的概率：
- 数学定义：R(t) = P(T > t)，其中 T 为系统失效时间（随机变量）。
- 基本性质：R(0) = 1（初始时刻完全可靠）；R(∞) → 0（最终必然失效）；R(t) 为单调递减函数。
- 与累积失效分布函数 F(t) 的关系：R(t) = 1 − F(t)。
工程直觉：R(t) 曲线越“平缓”，说明系统在早期和中期保持高可靠性的时间越长；曲线越“陡峭”，说明系统退化越快。
1.3 失效率 λ(t)
失效率（Failure Rate）是可靠性工程中最敏感的指标之一，定义为：
λ(t) = f(t) / R(t)
其中 f(t) 为失效概率密度函数。失效率直观含义是：“在 t 时刻尚未失效的产品，在随后的单位时间内发生失效的条件概率”。
| 阶段 | 失效率变化趋势 | 典型原因 | 工程对策 |
|---|---|---|---|
| 早期失效期 | 递减（λ 高→低） | 设计缺陷、制造瑕疵、安装错误 | 老化筛选、环境应力筛选 |
| 偶然失效期 | 近似常数（λ 稳定） | 随机过载、环境波动、操作失误 | 冗余设计、降额设计 |
| 耗损失效期 | 递增（λ 低→高） | 磨损、疲劳、腐蚀、材料老化 | 预防性维修、定时更换 |
上述三个阶段构成了经典的“浴盆曲线”（Bathtub Curve），是可靠性工程中最基础的失效模式模型。
1.4 平均无故障时间 MTBF
MTBF（Mean Time Between Failures）是可修复系统最常用的可靠性度量指标：
- 定义：可修复系统在相邻两次故障之间的平均工作时间。
- 数学表达式：MTBF = ∫₀^∞ R(t) dt
- 特例：当失效率 λ 为常数（指数分布）时，MTBF = 1/λ。
常见误区：MTBF 不是“寿命”或“保修期”。MTBF = 1000 小时并不意味着每个产品都能工作 1000 小时，而是指大量产品平均无故障工作时间约为 1000 小时。在 Monte Carlo 仿真中，MTBF 通常作为指数分布参数 λ = 1/MTBF 来生成随机失效时间。
1.5 核心概念关系图
下图展示了可靠性工程基础概念之间的逻辑关系与数学联系：
1.6 常用可靠性分布模型
在 Monte Carlo 仿真中，需要根据系统特性选择合适的失效分布模型：
| 分布类型 | 概率密度函数 f(t) | 可靠度函数 R(t) | 失效率 λ(t) | 典型应用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 指数分布 | λ e−λt | e−λt | λ（常数） | 电子元器件、偶然失效期 |
| 威布尔分布 | (β/η)(t/η)β−1 e−(t/η)^β | e−(t/η)^β | (β/η)(t/η)β−1 | 机械零件、磨损、疲劳失效 |
| 正态分布 | (1/σ√2π) e−(t−μ)²/2σ² | 1 − Φ((t−μ)/σ) | 递增（t < μ 附近） | 耗损失效、材料老化 |
| 对数正态分布 | (1/tσ√2π) e−(ln t−μ)²/2σ² | 1 − Φ((ln t−μ)/σ) | 先增后减 | 半导体器件、裂纹扩展 |
Monte Carlo 仿真要点：在后续章节中，我们将利用上述分布模型生成随机失效时间样本。例如，对于指数分布，可通过逆变换法直接生成：t = −(1/λ) · ln(U)，其中 U 为 [0,1] 均匀随机数。这是 Monte Carlo 仿真中最基础、最常用的采样方法。
1.7 系统可靠性模型概述
在进入 Monte Carlo 仿真之前，还需了解系统级可靠性模型的基本结构：
- 串联系统：任一单元失效即导致系统失效。Rsys(t) = ∏ Ri(t)
- 并联系统：所有单元均失效时系统才失效。Rsys(t) = 1 − ∏ (1 − Ri(t))
- k/n 表决系统：n 个单元中至少 k 个正常则系统正常。
- 冷/热备系统：备用单元在切换前后的失效率不同。