三、转矩与张力的关系：转矩在张力控制中的作用、转矩与张力、半径、惯量的数学关系，以及转矩补偿的必要性

在张力控制系统中，转矩（Torque）是执行机构对负载施加的旋转力矩，而张力（Tension）是材料沿运动方向受到的拉伸力。二者看似分属旋转与直线两个物理域，但在卷绕、放卷、牵引等典型工艺中，通过卷径、传动比和机械效率等中间变量紧密耦合。理解转矩与张力之间的数学关系，是设计转矩补偿算法的基础，也是从“PID调张力”走向“前馈+反馈复合控制”的关键一步。本章将从物理本质出发，推导转矩与张力、半径、惯量的定量关系，并说明为何仅靠反馈调节无法满足高动态、宽幅、变径工况下的张力精度要求，从而引出转矩补偿的必要性。

3.1 转矩在张力控制中的核心作用

在卷绕类设备（如分切机、涂布机、复卷机、拉丝机）中，张力控制的执行方式主要有三种：转矩控制模式、速度控制模式和位置控制模式。其中，转矩控制模式直接以电机输出转矩为操纵变量，通过调节转矩来间接控制材料张力，是最常用且动态响应最快的方案。

转矩在张力控制中的作用可以概括为以下三个层面：

• 静张力维持：当系统处于稳态运行时，电机输出转矩需要克服材料张力产生的负载转矩，即 T = F × R。此时转矩与张力呈线性关系，转矩的稳定性直接决定张力的稳定性。
• 动态张力调节：在启动、停止、加减速过程中，系统还需要额外克服惯性转矩 J × α。如果转矩指令不包含惯量补偿项，材料张力就会出现明显的“冲头”或“松弛”现象。
• 扰动抑制：当卷径变化、材料厚度不均、机械摩擦波动时，转矩需要实时调整以维持张力恒定。转矩补偿算法本质上是一种前馈控制，能够在扰动影响张力之前就进行预调节。

3.2 转矩与张力、半径、惯量的数学关系推导

为了设计转矩补偿算法，必须从力学模型出发，建立完整的数学表达式。以下推导基于典型的卷绕/放卷系统，忽略材料弹性滑移，假设材料与卷芯之间无相对滑动。

3.2.1 稳态转矩方程

当系统匀速运行（角加速度 α = 0）时，电机输出转矩仅需平衡材料张力产生的负载转矩：

T_steady = F × R

其中：

• T_steady — 稳态转矩（N·m）
• F — 材料张力（N）
• R — 当前卷径（m）

这个公式表明：在张力设定值不变的情况下，随着卷径增大（收卷）或减小（放卷），所需转矩必须线性变化。如果转矩不随半径调整，张力就会成反比波动。

3.2.2 动态转矩方程

在加减速过程中，系统还需要克服转动惯量产生的惯性转矩。完整的转矩平衡方程为：

T_total = F × R + J × α

其中：

• J — 卷轴系统总转动惯量（kg·m²），包括卷芯惯量、材料惯量、电机转子惯量折算值
• α — 角加速度（rad/s²），收卷时 α > 0，放卷时 α < 0

注意：在放卷工况中，如果电机处于发电制动状态，惯性项的方向与张力项相反，此时若忽略惯量补偿，会导致放卷张力在加速时偏大、减速时偏小。

3.2.3 转动惯量的实时计算

卷轴系统的转动惯量由固定部分和可变部分组成。固定部分包括电机转子、减速机构、卷芯等；可变部分来自材料卷绕质量。对于实心圆柱体材料卷，惯量计算公式为：

J = J₀ + (π/2) × ρ × W × (R⁴ - R₀⁴)

其中：

• J₀ — 固定惯量（kg·m²）
• ρ — 材料密度（kg/m³）
• W — 材料宽度（m）
• R — 当前卷径（m）
• R₀ — 卷芯半径（m）

从公式可以看出，惯量与半径的四次方成正比。这意味着当卷径从 100mm 增长到 300mm 时，材料惯量将增加 81 倍（3⁴ = 81）。如此剧烈的惯量变化，如果不进行实时补偿，加减速时的张力波动将完全失控。

3.2.4 半径的实时估算

转矩补偿的前提是已知当前卷径。工程中常用的半径估算方法有两种：

实际系统中，通常将两种方法结合：用厚度累积法做基准，用线速度/角速度法做校正，并通过低通滤波消除测量噪声。

3.3 转矩补偿的必要性分析

如果系统不进行转矩补偿，仅依赖张力反馈闭环（如 PID 调节），会面临以下根本性问题：

1. 反馈滞后导致的动态误差：张力传感器通常安装在距离卷轴一定距离的位置，材料从卷轴到传感器之间存在传输延迟。在高速加减速时，张力偏差要经过延迟才能被传感器感知，PID 调节器响应滞后，导致张力超调或振荡。
2. 半径变化引起的静态误差：假设张力反馈闭环能够将张力稳定在设定值附近，但如果没有半径前馈，转矩指令需要 PID 输出不断调整来“追赶”半径变化。在卷径变化较快的工况（如薄材料高速收卷），PID 输出可能饱和，导致张力失控。
3. 惯量突变引起的冲击：在换卷、接料、启停瞬间，惯量可能发生阶跃变化。反馈控制无法预知这种突变，只能等张力偏差出现后才动作，必然产生张力尖峰。
4. 摩擦和弯曲阻力的干扰：轴承摩擦、材料弯曲刚度、空气阻力等附加转矩并非恒定值，而是随速度、温度、材料状态变化。这些扰动如果全部依赖反馈消除，会降低系统的稳定裕度。

3.4 案例拆解：某涂布机收卷张力波动问题

为更直观地理解转矩补偿的必要性，以下给出一个实际工程案例。

3.4.1 背景与初始现象

某锂电池隔膜涂布机，收卷工位采用转矩控制模式，张力设定值 50N，收卷线速度 80m/min，卷芯半径 76mm，最终卷径 300mm。设备在运行初期（卷径 76~120mm）张力稳定，但卷径超过 150mm 后，张力波动逐渐增大，尤其在加速段（0→80m/min，加速时间 5s）出现明显的张力“先冲高后回落”现象，波动幅度达 ±8N，超出工艺允许的 ±2N 范围。

3.4.2 分析与诊断

现场工程师首先检查了张力传感器和 PID 参数，发现反馈回路正常。进一步分析发现：

• 原控制程序仅使用固定转矩前馈 T = F × R，其中 R 采用初始卷径 76mm 的固定值，未实时更新。
• 未包含惯量补偿项 J × α。
• 当卷径增大到 150mm 时，实际所需转矩应为 50 × 0.15 = 7.5 N·m，但前馈仍按 50 × 0.076 = 3.8 N·m 输出，差额 3.7 N·m 完全依赖 PID 反馈补偿。
• 加速段角加速度 α = (80/60) / (5 × 0.15) ≈ 1.78 rad/s²，此时材料惯量已增大至约 0.42 kg·m²，惯性转矩 J × α ≈ 0.75 N·m，同样未被补偿。

3.4.3 实施转矩补偿改造

针对上述问题，实施了以下三步改造：

1. 半径实时估算：利用牵引辊编码器线速度与收卷轴编码器角速度，按 R = v / ω 实时计算卷径，并采用一阶低通滤波（截止频率 0.5Hz）平滑处理。
2. 惯量在线计算：根据材料参数（隔膜密度 ρ = 650 kg/m³，宽度 W = 0.65m）和当前半径，按 J = J₀ + (π/2)ρW(R⁴ - R₀⁴) 计算总惯量，其中 J₀ = 0.08 kg·m²（含电机转子、减速机、卷芯）。
3. 转矩指令合成：将转矩指令改为 T* = F* × R + J × α + T_friction，其中摩擦补偿项 T_friction 通过空载试验测得（约 0.15 N·m 恒定值）。PID 输出仅作为微调项叠加。

3.4.4 结果对比与复盘

改造后，PID 输出占比大幅下降，说明前馈补偿承担了主要控制任务，反馈仅用于消除残余误差。同时，由于前馈通道的响应速度远快于反馈通道，加减速段的张力动态偏差显著减小。

3.5 常见误区与总结复盘

在转矩补偿算法的工程实践中，以下误区值得特别关注：

• 误区一：认为转矩补偿就是“张力设定 × 半径”。实际上，这只是稳态前馈，动态工况下必须叠加惯量补偿和摩擦补偿。
• 误区二：半径估算滞后导致补偿失真。如果半径滤波时间常数过大（如超过 2s），在快速加减速时半径值跟不上实际变化，补偿效果反而变差。建议滤波截止频率不低于 1Hz。
• 误区三：忽略传动比的影响。如果电机通过减速箱驱动卷轴，转矩指令需要除以传动比，惯量需要乘以传动比的平方折算到电机侧。公式为 T_motor = (F × R + J_load × α) / i，J_motor_total = J_motor + J_load / i²。
• 误区四：摩擦补偿采用固定值。实际摩擦转矩随速度变化（Stribeck 曲线），低速时静摩擦占主导，高速时粘性摩擦占主导。建议采用分段线性或指数模型进行速度相关摩擦补偿。

总结本章核心要点：