4. 删失数据似然函数构造

在可靠性工程中，寿命试验往往无法等到所有样本失效。有的样本在试验结束时仍正常工作，有的在开始观测前就已失效，还有的只知道失效发生在某个时间区间内。这些不完整的观测信息，正是删失数据。若直接丢弃删失样本，会系统性高估或低估寿命参数；正确做法是把删失信息写进似然函数，让每个样本按其“能提供的信息量”贡献似然。

一、三种删失的似然贡献

设寿命随机变量 T 的密度函数为 f(t; θ)，可靠度函数为 R(t; θ) = P(T > t)，累积分布函数为 F(t; θ)。三种删失的似然贡献如下：

• 精确失效（无删失）：观测到失效时刻 t，似然贡献为密度 f(t; θ)。
• 右删失：只知道样本在时刻 c 仍存活，即 T > c，似然贡献为可靠度 R(c; θ)。
• 左删失：只知道样本在时刻 c 之前已失效，即 T ≤ c，似然贡献为分布函数 F(c; θ)。
• 区间删失：只知道失效发生在区间 (L, R] 内，似然贡献为 F(R; θ) − F(L; θ)。

这四种贡献可以统一理解为：观测事件对应的概率质量。精确失效是“点质量”，右删失是“尾部质量”，左删失是“头部质量”，区间删失是“区间质量”。

二、联合似然与对数似然

假设 n 个样本相互独立，则联合似然为各样本贡献之积。设精确失效样本集为 E，右删失样本集为 R，左删失样本集为 L，区间删失样本集为 I，则：

L(θ) = ∏_{i∈E} f(t_i; θ)
     × ∏_{i∈R} R(c_i; θ)
     × ∏_{i∈L} F(c_i; θ)
     × ∏_{i∈I} [F(R_i; θ) − F(L_i; θ)]

实际计算中通常取对数，把乘积变为求和：

ℓ(θ) = Σ_{i∈E} ln f(t_i; θ)
     + Σ_{i∈R} ln R(c_i; θ)
     + Σ_{i∈L} ln F(c_i; θ)
     + Σ_{i∈I} ln [F(R_i; θ) − F(L_i; θ)]

以指数分布 f(t; λ) = λe^−λt、R(t) = e^−λt、F(t) = 1 − e^−λt 为例，若只有精确失效和右删失，对数似然为 ℓ(λ) = d ln λ − λ Σ_所有样本 t_i，其中 d 为失效数，求和覆盖失效时间与删失时间。求导并令其为零，得到 λ̂ = d / Σt_i。这说明右删失样本虽然未失效，但其存活时间仍进入分母，参与了参数估计。

三、信息矩阵、观测信息与期望信息

对数似然的一阶导称为得分函数 U(θ) = ∂ℓ/∂θ，二阶导的负值称为观测信息 J(θ) = −∂²ℓ/∂θ²。观测信息依赖具体样本，是实际数据下曲率的度量；曲率越大，似然函数在极值附近越尖锐，参数估计越精确。

期望信息（Fisher 信息）定义为观测信息的期望：I(θ) = E[−∂²ℓ/∂θ²]。它只依赖模型和样本量，不依赖具体观测值，常用于试验设计阶段评估所需样本量。在正则条件下，最大似然估计 θ̂ 近似服从正态分布，其渐近方差为 I(θ)⁻¹，因此 θ̂ ± z_1−α/2 √I(θ̂)⁻¹ 可构造近似置信区间。

四、一个可复现的数值示例

假设对某电子元件做定时截尾试验，共 6 个样本，观测到 3 个失效时间（小时）：120、250、400；另外 3 个样本在 500 小时时仍正常，为右删失。假设寿命服从指数分布，待估参数为失效率 λ。

对数似然为 ℓ(λ) = 3 ln λ − λ(120 + 250 + 400 + 500 + 500 + 500) = 3 ln λ − 2270λ。求导得 U(λ) = 3/λ − 2270，令其为零得 λ̂ = 3/2270 ≈ 0.001322 h⁻¹，对应平均寿命约 756.7 小时。观测信息 J(λ̂) = 3/λ̂² ≈ 1.717 × 10⁶，标准误约为 √(1/J) ≈ 0.000763 h⁻¹。若用期望信息，对指数分布右删失数据，I(λ) = d/λ²，在 λ̂ 处取值与观测信息相同，因为指数分布下观测信息恰好不依赖具体失效时间。

从图中可以看到，四种观测类型分别对应分布函数、密度函数、可靠度函数和区间概率，它们共同构成联合似然。对数似然求二阶导后得到观测信息，取期望后得到期望信息，最终用于构造参数的渐近置信区间。理解这条从“观测类型”到“似然贡献”再到“信息量”的链路，是后续进行可靠性区间估计的基础。