3. 可靠性基本量与区间估计目标

在删失寿命数据的学习中，最先要建立的是“可靠性基本量”这一套语言。它们不是孤立的公式，而是从不同角度描述同一批寿命数据的工具：可靠度函数看“还能撑多久”，失效概率密度看“失效集中在什么时刻”，危险率函数看“已经活到 t 之后，下一瞬间失效的倾向有多强”，平均寿命和分位数寿命则给出概括性的寿命尺度。区间估计的目标，则是在这些量的基础上，回答“真值可能落在哪个范围、这个范围有多可信”。

一、五个基本量的定义与关系

设寿命随机变量为 T，分布函数为 F(t) = P(T ≤ t)，表示在时刻 t 之前失效的概率。可靠度函数定义为

R(t) = P(T > t) = 1 − F(t)。

它是一条从 1 单调下降到 0 的曲线，描述产品在 t 时刻仍能正常工作的概率。失效概率密度 f(t) 是 F(t) 的导数，表示失效发生在 t 附近单位时间内的概率密度。危险率函数（也称失效率函数）定义为

h(t) = f(t) / R(t)，

它表示“已经存活到 t”的条件下，下一瞬间发生失效的条件概率密度。三者满足 f(t) = h(t)R(t)，这是可靠性建模中最常用的桥梁关系。

平均寿命通常指期望寿命 E(T) = ∫₀^∞ R(t)dt，对指数分布即为 1/λ。分位数寿命 t_p 满足 F(t_p) = p，例如 t_0.1 是 10% 失效时间，B₁₀ 寿命；t_0.5 是中位寿命。工程上常关注 B₁₀、B₅₀，因为它们比均值更能反映早期失效和典型寿命。

二、从基本量到区间估计目标

点估计给出一个数值，例如用样本算得 R̂(1000) = 0.92，但样本有随机性，换一批样本结果会变。区间估计的目标是构造一个随机区间 [L, U]，使得它以指定概率覆盖真值。这个指定概率就是置信水平 1 − α，例如 95%。需要区分两个概念：置信水平描述的是“构造方法长期重复使用时的覆盖频率”，而覆盖概率是区间实际包含真值的概率。在频率学派框架下，真值是固定的，区间是随机的，因此说“95% 置信区间”是指按此方法重复抽样，约 95% 的区间会覆盖真值，而不是“真值有 95% 概率落在本次区间内”。

对可靠度 R(t) 的区间估计，常见做法是先得到 R̂(t) 及其标准误，再用正态近似构造 R̂(t) ± z_1−α/2·SE，必要时做 logit 或 log-log 变换以改善小样本和尾部表现。对平均寿命，指数分布下可用 2T_total/χ² 构造精确区间；对分位数寿命，可用二项分布或渐近正态方法。删失数据的关键影响在于：总试验时间 T_total 要按“实际观测时间之和”累计，而不是简单用失效时间乘以样本量。

三、一个可复算的教学示例

假设对 10 只某型继电器做寿命试验，单位小时，结果如下（示例数据，用于说明计算流程）：

失效时间：320, 560, 780, 1050, 1400
删失时间：900, 1200, 1500, 1800, 2000（右删失）

总试验时间 T_total = 320+560+780+1050+1400+900+1200+1500+1800+2000 = 11510 小时，失效数 r = 5。若用指数分布近似，平均寿命点估计为 T_total/r = 2302 小时。95% 置信区间可用 2T_total/χ²_{0.975, 2r} 到 2T_total/χ²_{0.025, 2r}，即 23020/χ²_0.975,10 到 23020/χ²_0.025,10。查表 χ²_0.975,10 ≈ 20.48，χ²_0.025,10 ≈ 3.25，得到约 [1124, 7083] 小时。这个区间很宽，说明 10 个样本、5 个失效的信息量有限，也提示若要收窄区间需增加样本或延长观测。

对可靠度 R(1000)，指数模型下 R̂(1000) = exp(−1000/2302) ≈ 0.647。其近似标准误可由 delta 方法得到，再构造区间。实际工作中更稳妥的是用对数变换后的区间，避免区间越出 [0,1]。

四、区间估计的落地检查

把上述内容整理成一张可执行的检查表，便于在完成一次区间估计后逐项核对：

掌握这些基本量和区间估计目标后，后续的删失数据处理、参数估计和模型选择才有明确的落点：无论用什么方法，最终都要回到“这个量估计得准不准、区间可不可信”这一判断上。