3. 均值回归概念

在配对交易、统计套利和价差策略中，均值回归是最核心的假设之一。它描述的是：一个序列在短期内可能偏离其长期均衡水平，但这种偏离不会无限扩大，而是存在一种“被拉回”的倾向。理解均值回归，必须同时掌握它的直觉定义、数学表达、回归速度（半衰期）以及连续时间建模工具——奥恩斯坦-乌伦贝克过程。

一、均值回归的定义与直觉

均值回归（Mean Reversion）是指时间序列在长期中存在一个相对稳定的均衡水平，当价格或价差偏离该水平时，未来有较大概率向均衡方向移动。它并不要求每次偏离都立刻回归，也不保证回归一定发生，而是描述一种统计倾向：偏离越大，回归的压力通常越强。

在量化交易中，均值回归常被用于两类场景：一是单资产价格围绕基本面价值波动，例如某些商品价格围绕边际成本波动；二是多资产价差围绕长期关系波动，例如两只高度相关股票的价差、期货与现货的基差、ETF 与成分股组合的溢价。配对交易正是后者的典型应用。

二、数学表达：从 AR(1) 到均值回归

最基础的离散时间均值回归模型是一阶自回归模型 AR(1)：

y_t = μ + φ(y_{t-1} - μ) + ε_t

其中：
y_t      : t 时刻的序列值
μ        : 长期均值
φ        : 自回归系数，均值回归要求 |φ| < 1
ε_t      : 白噪声扰动，通常假设 ε_t ~ N(0, σ²)

将上式改写为偏离形式，令 x_t = y_t - μ，则：

x_t = φ x_{t-1} + ε_t

当 0 < φ < 1 时，当前偏离会以 φ 的比例传递到下一期，偏离逐步衰减，序列表现出均值回归。φ 越接近 0，回归越快；φ 越接近 1，回归越慢，接近随机游走。若 φ = 1，则序列变为随机游走，不再具有均值回归性质。

在连续时间下，均值回归通常用奥恩斯坦-乌伦贝克过程描述：

dX_t = θ(μ - X_t)dt + σ dW_t

其中：
θ        : 回归速度，θ > 0
μ        : 长期均值
σ        : 波动率
W_t      : 标准布朗运动

漂移项 θ(μ - X_t) 是核心：当 X_t 高于 μ 时，漂移为负；当 X_t 低于 μ 时，漂移为正。θ 越大，拉回均值的力量越强。

三、半衰期：衡量回归速度的实用指标

半衰期（Half-Life）回答一个非常直观的问题：当前偏离均值的一半，平均需要多长时间才能消失？在 OU 过程中，半衰期与回归速度 θ 的关系为：

Half-Life = ln(2) / θ ≈ 0.693 / θ

在离散 AR(1) 模型中，若使用日频数据，半衰期可近似为：

Half-Life = -ln(2) / ln(φ) ≈ 0.693 / (1 - φ)

例如，若拟合得到 φ = 0.95，则半衰期约为 0.693 / 0.05 ≈ 13.9 个交易日。这意味着一次偏离大约需要两周时间衰减一半。半衰期过短，可能意味着回归太快、交易成本难以覆盖；半衰期过长，则资金占用久、风险暴露大。实务中常把半衰期作为筛选配对和设定持仓周期的关键参数。

四、案例场景：用 OU 过程理解价差交易

假设我们研究两只股票的价差 S_t，并通过历史数据拟合出 OU 参数：μ = 0，θ = 0.08，σ = 0.02。则半衰期约为 0.693 / 0.08 ≈ 8.7 个交易日。若当前价差为 0.05，即偏离均值 0.05，根据 OU 过程的期望路径：

E[X_t | X_0 = 0.05] = 0.05 * exp(-0.08 t)

大约 8.7 个交易日后，期望偏离降至 0.025；约 17.4 个交易日后降至 0.0125。这个期望路径可以帮助我们设定合理的止盈窗口：如果持仓 20 个交易日价差仍未明显回归，说明模型可能失效或市场结构发生变化，应考虑止损或重新检验协整关系。

五、常见误区与复盘要点

• 误区一：把随机游走当均值回归。若 ADF 检验无法拒绝单位根，或 φ 接近 1，则序列可能只是随机游走，贸然做回归会持续亏损。
• 误区二：忽略结构突变。均值 μ 可能因政策、并购、行业周期而改变。用旧均值交易新市场，等于刻舟求剑。
• 误区三：只看半衰期，不看波动率。半衰期短但 σ 很大时，开仓后可能先承受巨大浮亏，导致提前止损。
• 误区四：过度拟合参数。在短样本上优化 θ、μ、开仓阈值，容易得到看似完美但不可复现的结果。

复盘时应重点检查：价差是否通过平稳性检验；半衰期是否稳定；开仓阈值是否与波动率匹配；最大不利偏移（MAE）是否超出风险预算；以及策略在样本外是否仍然有效。只有把这些环节串联起来，均值回归才从一个概念变成可执行的交易逻辑。