2. 车辆纵向动力学基础
速度规划与纵向控制协同工程的第一块基石，是理解车辆在纵向上到底受哪些力、这些力如何合成、合成结果又如何决定加速度。只有把“力—加速度—速度—位移”这条链路算清楚，上层规划出的目标速度才可能被下层控制器真实执行。本节从牛顿第二定律出发，建立车辆纵向动力学的简化模型，并说明各物理量在工程中的取值与影响。
一、核心原理：纵向力平衡方程
把整车视为一个沿行驶方向运动的集中质量，忽略侧向与横摆运动，纵向动力学可写成如下基本方程：
m · a = F_drive − F_brake − F_roll − F_air − F_grade
其中：
m 整车等效质量（kg）
a 纵向加速度（m/s²），加速为正、减速为负
F_drive 驱动轮地面切向驱动力（N）
F_brake 制动系统产生的制动力（N）
F_roll 滚动阻力（N）
F_air 空气阻力（N）
F_grade 坡道阻力（N），上坡为正、下坡为负该式说明：加速度不是由驱动力单独决定，而是所有纵向力的合力除以质量。速度规划若只考虑“踩多少油门”，忽略坡度与空气阻力，就会在长上坡或高速段出现明显跟踪偏差。
二、各分力的数学表达
- 驱动力：F_drive = T_engine · i_g · i_0 · η_t / r，其中 T_engine 为发动机或电机输出转矩，i_g 为变速器速比，i_0 为主减速比，η_t 为传动效率，r 为车轮滚动半径。对电动车，电机在低速段恒转矩、高速段恒功率，驱动力曲线呈先平后降的形态。
- 制动力：F_brake = p_brake · K_brake，p_brake 为制动压力，K_brake 为制动因数。电机制动时，制动力还包含回馈分量，受电池充电功率与电机外特性限制。
- 滚动阻力：F_roll = m · g · f · cosθ，f 为滚动阻力系数，良好沥青路面约 0.010～0.015，θ 为坡度角。
- 空气阻力：F_air = 0.5 · ρ · C_d · A · v²，ρ 为空气密度（约 1.225 kg/m³），C_d 为风阻系数，A 为迎风面积，v 为车速。它与速度平方成正比，是高速段最主要的阻力。
- 坡道阻力：F_grade = m · g · sinθ。工程上常用坡度百分比 i = tanθ 近似，小角度时 sinθ ≈ tanθ ≈ i。
关键结论：低速时滚动阻力与坡道阻力占主导，高速时空气阻力迅速上升并成为主导项。速度规划必须按速度区间切换主导阻力模型，否则在 80 km/h 以上会显著低估所需驱动力。
三、简化模型与参数关系
为便于实时控制，工程中常把上述方程整理为加速度关于驱动力、制动力与速度的函数：
a = [ F_drive(u) − F_brake − m·g·(f·cosθ + sinθ) − 0.5·ρ·C_d·A·v² ] / (m·δ)
δ 为旋转质量换算系数，考虑车轮、传动系转动惯量的等效影响，
一般取 1.03～1.10，低挡位时偏大。由此可看出三个重要参数关系：第一，加速度与质量成反比，满载与空载的加速能力差异可达 20% 以上；第二，坡度对加速度的影响是线性的，5% 坡道约带来 0.49 m/s² 的减速度损失；第三，速度越高，空气阻力消耗的驱动力越多，可用加速能力越弱。
四、典型场景与参数取值
以一辆整备质量 1600 kg、满载 2000 kg 的纯电动车为例，取 C_d = 0.30、A = 2.3 m²、f = 0.012、δ = 1.05。下表给出不同工况下各阻力与所需驱动力的估算，用于说明速度规划中必须区分的工况差异。
| 工况 | 车速 (km/h) | 坡度 | F_roll (N) | F_air (N) | F_grade (N) | 目标 a (m/s²) | 所需 F_drive (N) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 城市起步 | 20 | 0% | 235 | 13 | 0 | 1.5 | 3398 |
| 高速巡航 | 100 | 0% | 235 | 326 | 0 | 0 | 561 |
| 长上坡 | 60 | 5% | 234 | 117 | 981 | 0.5 | 2382 |
| 下坡滑行 | 60 | −5% | 234 | 117 | −981 | −0.3 | −945 |
表中负的所需驱动力表示需要制动力介入。可以看到，5% 上坡在 60 km/h 时坡道阻力接近 1000 N，已经超过空气阻力，是速度规划中必须优先补偿的项。
五、常见误区与复盘要点
误区一：把驱动力当成加速度的直接指令。驱动力需先扣除阻力再除以质量与旋转质量系数，才能得到加速度。忽略阻力会导致低速段高估加速能力、高速段低估需求。
误区二：用固定质量建模。乘用车满载与空载质量差可达 25%，商用车更大。速度规划应使用在线估计或保守质量，否则坡道起步与跟车工况易出现超调。
误区三：忽略坡度符号与坐标约定。上坡为正、下坡为负，若符号约定与控制器不一致，会出现“上坡反而加速”的危险逻辑。
复盘建议：在实车标定中，分别采集平路、上坡、下坡三组“驱动力—加速度”数据，拟合出等效质量与阻力系数，再回填到速度规划模型中。这样得到的简化模型既保留物理意义，又能把误差控制在可接受范围内。
综上，车辆纵向动力学的简化模型把驱动力、制动力、滚动阻力、空气阻力、坡道阻力、质量与加速度统一在一个力平衡方程中。它是速度规划计算可行加速度边界、纵向控制计算期望驱动力/制动力的共同基础。掌握各分力的量级与主导区间，是后续协同设计的前提。