3. 车辆动力学基础
在约束轨迹规划中，几何路径只回答“车该往哪走”，而车辆动力学回答“车能不能按这个走”。规划器若忽略轮胎侧偏、横摆稳定性和侧向加速度边界，输出的轨迹往往在仿真中平滑，在实车上却出现推头、甩尾或跟踪振荡。本节从轮胎侧偏特性出发，建立线性二自由度模型，并给出可用于轨迹规划的动力学约束边界。
一、轮胎侧偏特性：侧向力的来源
轮胎的侧向力并非由转向角直接产生，而是由轮胎接地区域相对轮辋的侧偏角 α 决定。当车辆转弯时，轮胎实际速度方向与轮平面方向不一致，形成侧偏角，胎面橡胶发生剪切变形，从而产生侧向力 Fy。在小侧偏角范围内，侧向力与侧偏角近似线性：
F_y = -C_α · α
其中：
C_α 轮胎侧偏刚度（N/rad），前轮约 4~8 万 N/rad
α 侧偏角（rad），正负号由坐标系约定
F_y 轮胎侧向力（N），负号表示与侧偏方向相反侧偏刚度受垂直载荷、胎压、胎面温度和路面附着影响。当侧偏角超过约 4°~6° 后，侧向力进入饱和区，继续增大侧偏角只会让轮胎接近附着极限，甚至出现侧向力下降。这一非线性饱和是高速大转角下车辆失稳的根源，也是规划器必须限制侧向加速度的原因。
二、线性二自由度模型：横摆与侧滑的耦合
为便于控制器设计，通常将车辆简化为沿纵轴匀速前进、只保留侧向运动与横摆运动的二自由度模型。状态量取侧向速度 vy 与横摆角速度 r，输入为前轮转角 δ。其状态方程为：
m(v̇_y + v_x·r) = F_yf + F_yr
I_z·ṙ = l_f·F_yf - l_r·F_yr
F_yf = -C_f·(v_y + l_f·r)/v_x - δ
F_yr = -C_r·(v_y - l_r·r)/v_x其中 m 为整车质量，Iz 为横摆转动惯量，lf、lr 为质心到前、后轴距离，Cf、Cr 为前、后轴等效侧偏刚度。该模型揭示了两个关键耦合：转向输入同时激发侧向速度和横摆角速度；而横摆运动又反过来改变前后轮侧偏角。轨迹规划中常用的“自行车模型”正是该模型在忽略侧偏、仅保留几何关系时的简化。
三、侧向加速度与横摆稳定性
稳态圆周行驶时，横摆角速度与侧向加速度满足：
r_ss = v_x·δ / (L + K·v_x²)
a_y = v_x·r_ss = v_x²·δ / (L + K·v_x²)
K = m(l_r/C_f - l_f/C_r) / L²K 称为不足转向梯度。K>0 表示不足转向，车辆转弯半径随车速增大而增大，稳定性好；K=0 为中性转向；K<0 为过多转向，高速下横摆角速度增益急剧上升，容易失稳。乘用车通常被调校为轻微不足转向，规划器可据此估计不同车速下的最大安全横摆角速度。
四、动力学约束边界与规划映射
将上述动力学结论转化为轨迹规划可用的约束，通常包括曲率约束、侧向加速度约束、侧偏角约束和横摆角速度约束。下表给出典型乘用车在干燥路面上的参考边界：
| 约束项 | 表达式 | 典型取值 | 规划含义 |
|---|---|---|---|
| 曲率上限 | κ ≤ ay,max/vx² | ay,max=0.4g | 限制路径弯曲程度 |
| 侧向加速度 | ay = vx²·κ | ≤ 4 m/s² | 保证乘坐舒适与附着余量 |
| 前轮侧偏角 | αf = δ - (vy+lfr)/vx | ≤ 5° | 避免轮胎进入饱和区 |
| 横摆角速度 | r = vx·κ | ≤ 0.5 rad/s | 限制车身旋转速率 |
| 转向角速率 | δ̇ | ≤ 0.5 rad/s | 约束执行器动态 |
实际规划中，这些边界并非独立生效。低速时曲率约束主导，高速时侧向加速度和侧偏角约束主导。一个实用的做法是：先按 ay,max 生成曲率包络，再用侧偏角约束对前轮转角进行二次校验，最后用横摆角速度约束检查轨迹的时间参数化是否可行。
五、案例：双移线工况的约束校验
以 ISO 3888-2 双移线为例，车辆以 80 km/h（22.2 m/s）通过。若规划路径最大曲率为 0.02 1/m，则侧向加速度为：
a_y = v_x²·κ = 22.2² × 0.02 ≈ 9.86 m/s² ≈ 1.0g该值已接近干燥路面附着极限，轮胎必然进入非线性区，横摆角速度也将超过 0.5 rad/s。规划器应将最大曲率限制在 0.008 1/m 左右，使 ay 不超过 4 m/s²，同时保证前轮侧偏角在 5° 以内。若任务要求更高通过速度，则应降低路径曲率或提高路面附着假设，而不是简单放宽约束。
六、常见误区与复盘
- 误区一：把几何曲率当作唯一约束，忽略速度对侧向加速度的平方放大效应。同一曲率下，车速翻倍，侧向加速度变为四倍。
- 误区二：用线性二自由度模型外推到大侧偏角工况。模型仅在侧偏角小于约 5° 时有效，饱和区必须引入非线性轮胎模型或直接限制边界。
- 误区三：忽略载荷转移。急转弯时外侧车轮垂直载荷增大、内侧减小，前后轴等效侧偏刚度随之变化，不足转向梯度也会漂移。
- 复盘要点：规划轨迹交付前，至少完成曲率、侧向加速度、侧偏角、横摆角速度四项校验，并保留 20% 以上的附着余量。