2. 车辆运动学基础

在约束轨迹规划中，车辆不是可以任意平移和旋转的质点，而是一个受转向几何、轴距、速度与航向耦合限制的非完整约束系统。若忽略这些运动学约束，规划出的轨迹即使几何上光滑，也可能在物理上不可跟踪。本章从最常用的自行车模型出发，建立阿克曼转向几何、曲率与航向角变化率之间的关系，并给出运动学约束的数学表达，为后续轨迹生成与可跟踪性分析奠定基础。

一、核心原理：自行车模型与阿克曼转向几何

自行车模型将四轮车辆简化为前后两个等效轮：前轮位于前轴中心，后轮位于后轴中心，两轮通过轴距 L 连接。该模型忽略轮胎侧偏和悬架动态，在低速、干燥路面、小侧向加速度场景下具有足够精度，是泊车、园区低速巡航和轨迹跟踪控制器设计中最常用的运动学模型。

阿克曼转向几何解决的是“内外前轮转角不同”的问题。车辆转弯时，内侧前轮走过的半径更小，因此转角应大于外侧前轮。若两前轮使用同一转角，轮胎将产生侧滑，磨损加剧且轨迹精度下降。阿克曼几何要求四轮轴线交于同一瞬时旋转中心，从而保证纯滚动、无侧滑。

设前轴中心等效转角为 δ，轴距为 L，则后轴中心处的转弯半径 R 满足：

R = L / tan(δ)

曲率 κ = 1 / R = tan(δ) / L

当 δ 较小时：κ ≈ δ / L

这意味着：转向角越大，曲率越大，转弯半径越小；轴距越长，同样转角下曲率越小，车辆越“迟钝”。对于铰接式或挂车车辆，还需引入等效轴距或铰接角修正。

二、曲率与航向角关系：从几何到微分方程

车辆沿路径运动时，航向角 θ 的变化与路径曲率 κ 直接相关。设车辆沿弧长 s 前进，则航向角变化率满足：

dθ/ds = κ

若以时间 t 为自变量，且纵向速度 v = ds/dt，则：
dθ/dt = v · κ = v · tan(δ) / L

该式说明：航向角变化率由速度、前轮转角和轴距共同决定。在低速时，可以通过较大转角获得较大航向变化；在高速时，即使很小的转角也会产生显著航向变化，因此高速轨迹规划必须限制曲率或转角速率。

进一步，车辆后轴中心在全局坐标系中的运动学方程为：

x_dot = v · cos(θ)
y_dot = v · sin(θ)
θ_dot = v · tan(δ) / L

若将前轮转角 δ 视为控制输入，速度 v 视为已知或另一控制输入，则上述三式构成经典自行车模型的非线性状态方程。其状态量为 [x, y, θ]，控制量为 [v, δ]。该模型是非完整约束系统：车辆不能直接侧向平移，只能通过前进/后退与转向组合改变位姿。

三、运动学约束的数学表达与工程含义

运动学约束可以从“无侧滑”条件推导。后轮不转向，因此后轴中心速度方向必须与车体航向一致：

x_dot · sin(θ) - y_dot · cos(θ) = 0

该式称为非完整约束方程，它限制了车辆瞬时速度方向，但不限制其可达位姿。工程上，这意味着：

• 车辆不能像全向移动机器人那样直接横向移动；
• 泊车、掉头等操作必须通过多次前后运动与转向组合完成；
• 轨迹规划器必须显式考虑曲率连续性与转角极限，否则跟踪控制器会出现饱和或振荡。

四、案例与场景：低速泊车路径的曲率约束

考虑一辆轴距 L = 2.7 m 的乘用车，最大前轮转角 δ_max = 35°。其最小转弯半径为：

R_min = L / tan(35°) = 2.7 / 0.7002 ≈ 3.86 m
κ_max = 1 / R_min ≈ 0.259 1/m

若规划器生成一段曲率为 0.35 1/m 的圆弧，则对应等效转角约为 43.4°，超过物理极限，车辆无法跟踪。此时跟踪控制器会出现明显横向误差，甚至触发转角饱和。正确做法是在路径优化中引入曲率约束：

|κ(s)| ≤ κ_max
|dκ/ds| ≤ κ_rate_max

其中 κ_rate_max 由转向执行器速率和乘坐舒适性共同决定。对于泊车场景，通常允许较大的曲率但要求曲率连续；对于高速换道，则要求曲率小且变化平缓。

五、常见误区与复盘

误区	问题	正确做法
把车辆当质点规划	轨迹出现急弯，实际无法跟踪	引入自行车模型与曲率约束
忽略阿克曼内外轮转角差	低速大转角时轮胎侧滑、轨迹偏差	使用阿克曼几何计算等效转角
只限制曲率，不限制曲率变化率	方向盘抖动，跟踪振荡	同时约束 κ 与 dκ/ds
高速仍用低速大转角策略	侧向加速度过大，车辆失稳	按速度动态收紧曲率上限