3. 车辆运动学基础

自动泊车规划器输出的每一条轨迹，最终都要交给底盘执行。如果规划层只考虑几何路径，而忽略车辆的运动学特性，就会出现“路径画得出来、车却开不进去”的尴尬。本节从阿克曼转向几何出发，建立自行车模型，推导运动学约束，并说明这些约束如何决定泊车可行性。

一、阿克曼转向几何：四个轮子如何绕同一圆心

低速泊车时轮胎侧滑可忽略，车辆转向近似满足纯滚动条件：每个车轮的速度方向与其轮平面一致。要让四个车轮都做纯滚动，它们必须绕同一个瞬时转向中心（ICR）旋转。阿克曼转向机构正是为此设计：内侧前轮转角大于外侧前轮转角，使两条前轮轴线与后轴轴线交于一点。

设轴距为 L，后轮距为 W，内前轮转角 δ_i、外前轮转角 δ_o，则理想阿克曼关系为：

cot(δo) - cot(δi) = W / L

等效单车转角（自行车模型用）：
δ = arctan( L / R )
R = L / tan(δ)

其中 R 为后轴中心到 ICR 的距离，即转弯半径。工程上常用“等效单车转角”替代左右轮差异，把四轮问题降维成两轮问题，这就是自行车模型的来源。

二、自行车模型：泊车规划的标准运动学模型

自行车模型把前后轴各简化为一个车轮，状态量取后轴中心坐标 (x, y)、车体航向角 θ，控制量为速度 v 与前轮转角 δ。其连续运动学方程为：

x_dot = v * cos(theta)
y_dot = v * sin(theta)
theta_dot = v * tan(delta) / L

该模型有三个关键性质：第一，车辆不能横向平移，只能沿航向方向前进或后退；第二，航向变化率与速度、转角同时相关，速度为零时无法原地改变航向；第三，转弯半径由 δ 唯一决定，δ 越大半径越小，但受机械极限限制。

在离散规划中，常以固定步长 Δt 或固定弧长 Δs 积分：

theta_next = theta + (v * tan(delta) / L) * dt
x_next     = x + v * cos(theta) * dt
y_next     = y + v * sin(theta) * dt

若采用固定弧长 Δs，则 θ 增量简化为 Δs·tan(δ)/L，便于生成等弧长轨迹点，这也是混合 A*、RS 曲线等泊车规划算法的常用离散方式。

三、运动学约束：泊车可行性的边界条件

把机械极限、舒适性与安全裕度写成约束，才能判断一条泊车轨迹是否“可执行”。常见约束如下表：

其中曲率约束与转角极限等价，是泊车可行性的核心。若目标车位所需的最小转弯半径小于车辆 R_min，则无论规划算法多强，都无法生成满足运动学的单段轨迹，只能通过多次前进后退（换挡）来“揉库”。

四、案例：垂直车位一把入库的可行性判断

设车辆轴距 L = 2.7 m，最大前轮转角 δ_max = 36°，则最小转弯半径：

R_min = L / tan(36°) = 2.7 / 0.7265 ≈ 3.72 m

若车位宽度 W_slot = 2.4 m，通道宽度 W_road = 5.5 m，
按几何关系估算所需最小通道宽度：
W_need ≈ R_min + 车宽/2 + 安全裕度
       ≈ 3.72 + 0.9 + 0.3 = 4.92 m

W_road = 5.5 m > W_need = 4.92 m → 一把入库可行

若通道宽度只有 4.2 m，则 W_road < W_need，单段圆弧无法完成，规划器必须切换到“前进—后退—前进”的多段泊车模式，并在每段之间插入换挡点。此时换挡点的位置、航向与剩余空间，就成为可行性判断的关键。

五、常见误区与复盘

• 误区一：把路径当轨迹。只给 (x, y) 曲线而不给航向 θ 与速度 v，底盘无法跟踪。自行车模型要求轨迹同时满足几何与运动学一致性。
• 误区二：忽略 v=0 的奇异性。θ̇ = v·tanδ/L，速度为零时航向不可变。规划器若在换挡点直接改变航向，实际车辆会“卡死”。
• 误区三：用几何最短路径代替可行路径。直线倒车入位看似最短，但起点航向不满足约束时，车辆根本无法沿该直线运动。
• 误区四：只检查终点碰撞，不检查过程。泊车过程中车身扫过的区域（扫掠包络）才是碰撞判断对象，尤其注意车头与车尾的外摆。

掌握阿克曼几何与自行车模型后，后续的 RS 曲线、混合 A*、数值优化等规划方法，本质上都是在“满足运动学约束的可行轨迹集合”中寻找最优解。运动学约束不是限制，而是把搜索空间裁剪到真实可执行范围的边界条件。