3. 单相机坐标系定义

在四相机3D线扫系统中，每个相机都遵循一套标准的坐标系转换链路。理解从三维世界到二维图像的映射过程，是构建系统数学模型的基础。本章节将详细阐述相机坐标系、图像坐标系与像素坐标系之间的几何关系及其数学表达。

3.1 三大坐标系的定义与角色

单相机成像过程涉及三个核心坐标系，它们分别承担不同的空间描述任务：

3.2 坐标系转换链路与数学表达

从相机坐标系中的三维点 P_c(X_c, Y_c, Z_c) 到像素坐标系中的二维点 p(u, v)，经历两次关键转换：

1. 透视投影：从相机坐标系 (3D) 到图像坐标系 (2D)。
2. 仿射变换：从图像坐标系 (mm) 到像素坐标系 (pixel)。

3.2.1 透视投影：相机坐标系 → 图像坐标系

基于针孔成像模型，三维空间点 P_c 通过光心投影到成像平面上的点 p(x, y)。根据相似三角形原理：

  x = f * (X<sub>c</sub> / Z<sub>c</sub>)
  y = f * (Y<sub>c</sub> / Z<sub>c</sub>)

其中，f 为相机焦距（单位：mm）。该投影过程是非线性的，因为深度 Z_c 出现在分母中。齐次坐标形式可将其线性化：

  [ x ]   [ f  0  0  0 ] [ X<sub>c</sub> ]
  [ y ] = [ 0  f  0  0 ] [ Y<sub>c</sub> ]
  [ 1 ]   [ 0  0  1  0 ] [ Z<sub>c</sub> ]
                          [ 1   ]

3.2.2 仿射变换：图像坐标系 → 像素坐标系

图像坐标系的原点 O_i 通常位于成像平面中心（主点），而像素坐标系的原点 O_p 位于图像左上角。转换涉及缩放与平移：

  u = (x / d<sub>x</sub>) + u<sub>0</sub>
  v = (y / d<sub>y</sub>) + v<sub>0</sub>

参数说明：

• d_x、d_y：单个像素在 x 和 y 方向上的物理尺寸（mm/pixel）。
• (u₀, v₀)：主点（光轴与成像平面交点）的像素坐标。

齐次矩阵形式：

  [ u ]   [ 1/d<sub>x</sub>  0      u<sub>0</sub> ] [ x ]
  [ v ] = [ 0      1/d<sub>y</sub>  v<sub>0</sub> ] [ y ]
  [ 1 ]   [ 0      0      1   ] [ 1 ]

3.3 内参矩阵：从相机坐标系到像素坐标系的统一表达

将透视投影与仿射变换合并，得到从相机坐标系到像素坐标系的完整映射：

  [ u ]   [ f<sub>x</sub>  0    u<sub>0</sub>  0 ] [ X<sub>c</sub> ]
  [ v ] = [ 0    f<sub>y</sub>  v<sub>0</sub>  0 ] [ Y<sub>c</sub> ]
  [ 1 ]   [ 0    0    1    0 ] [ Z<sub>c</sub> ]
                                [ 1   ]

其中，f_x = f / d_x，f_y = f / d_y，分别表示以像素为单位的焦距。左侧的 3×4 矩阵即为相机的内参矩阵 K：

  K = [ f<sub>x</sub>  0    u<sub>0</sub> ]
      [ 0    f<sub>y</sub>  v<sub>0</sub> ]
      [ 0    0    1   ]

3.4 坐标系关系总览

下图展示了三个坐标系之间的转换流程与核心参数：