4. 卷径估算的数学基础

卷径估算是张力前馈控制的“眼睛”。如果控制器不知道当前卷筒到底有多大，就无法把张力指令换算成正确的电机转矩或速度给定。卷径估算的数学基础并不复杂，核心只有四件事：几何关系给出卷径与卷材长度的静态联系；线速度与角速度关系提供实时可测的换算桥梁；积分法把离散的转速与线速度累积成卷径变化；卷材厚度累积模型则解释卷径为什么会随卷绕层数增加而增大。理解这四者的分工与衔接，才能判断现场估算值为何漂移、为何抖动、为何在换卷后需要重新标定。

一、几何关系：卷径、卷芯与卷材长度的静态约束

把卷筒看成由卷芯和若干层卷材紧密缠绕而成的圆柱体。设卷芯直径为 D0，当前外径为 D，卷材厚度为 h，已卷绕的卷材总长度为 L。在理想紧密缠绕、忽略层间间隙和卷材压缩的假设下，卷材的横截面积等于各层环形面积之和：

π(D² - D0²) / 4 = h · L

整理得：
D = sqrt(D0² + 4hL/π)

这个公式说明：卷径不是随长度线性增长，而是随长度平方根增长。卷径越大，同样的卷材长度带来的直径增量越小。这一非线性特征直接影响前馈增益的整定——如果控制器按线性关系补偿，大卷径阶段会出现明显偏差。几何关系还给出了一个重要的边界条件：当 L=0 时 D=D0，这是每次换卷后卷径估算的初始锚点。

二、线速度与角速度关系：实时估算的测量桥梁

几何关系是静态的，实际运行中卷径不断变化，必须依靠可测信号实时更新。最直接的测量桥梁是线速度与角速度的关系。设卷筒表面线速度为 v（m/min），卷筒角速度为 ω（rad/min），则：

v = ω · D / 2
D = 2v / ω

若用转速 n（r/min）表示：
ω = 2πn
D = v / (πn)

这就是“测速法”卷径估算的核心。线速度通常来自安装在导向辊或测速辊上的编码器，角速度来自卷筒电机编码器或变频器输出频率。两者相除即可得到实时卷径。测速法的优点是响应快、不依赖卷材厚度参数；缺点是低速时 n 很小，除法会放大噪声，导致卷径剧烈抖动。因此工程上常在低速段切换到积分法或对结果做一阶滤波。

三、积分法与卷材厚度累积模型：从增量到卷径

积分法不直接做除法，而是利用“每转一圈，卷径增加两倍厚度”的累积关系。设卷筒转过角度 Δθ（rad），卷材厚度为 h，则卷径增量为：

ΔD = h · Δθ / π

离散化后：
D[k] = D[k-1] + h · Δθ[k] / π

其中 Δθ[k] = 2π · n[k] · Ts / 60
Ts 为采样周期（s），n[k] 为当前转速（r/min）

积分法的物理意义非常清晰：卷径的变化量等于卷材厚度乘以转过的圈数。它天然平滑，不受低速除法噪声影响，但依赖厚度 h 的准确性。如果 h 标定偏大 5%，卷径会持续累积偏大，最终导致张力前馈偏强。因此积分法通常需要与测速法做融合：用测速法提供绝对基准，用积分法提供平滑增量，或在换卷时用几何关系重新初始化。

卷材厚度累积模型还揭示了卷径估算的一个常见误区：把 h 当作常数。实际上卷材在张力作用下会被压缩，层间存在空气间隙，实际等效厚度 h_eff 往往小于名义厚度。对于薄带材，h_eff 可能只有名义值的 85%～95%。工程上常用“卷径自学习”来修正：在已知长度 L 和实测首末卷径的条件下反算 h_eff：

h_eff = π(D_end² - D_start²) / (4L)

四、四种数学工具的分工与融合

下表总结了四种数学工具在卷径估算中的角色、输入、输出和典型问题，便于在控制器中合理组合使用。

五、场景案例：换卷后的卷径初始化与前馈切换

某冷轧薄带生产线在换卷后启动，卷芯直径 D0=0.5m，卷材名义厚度 h=0.3mm，目标线速度 v=300m/min。控制器上电后首先用几何关系将卷径初始化为 D=D0=0.5m，前馈增益按小卷径设置。随着卷绕进行，编码器测得卷筒转速 n=180r/min，测速辊线速度 v=300m/min，测速法计算：

D = v / (πn) = 300 / (3.1416 × 180) ≈ 0.531m

此时积分法同步累积：若采样周期 Ts=10ms，每周期卷径增量约为 0.3mm × 2π × 180 × 0.01 / 60 / π ≈ 0.018mm。两者相差不大时，控制器以测速法为主、积分法做平滑；当转速降到 30r/min 以下，测速法噪声增大，控制器自动切换到积分法并冻结绝对基准。整个卷绕周期结束后，用实际卷径和长度反算 h_eff，用于下一卷的厚度修正。

六、误区复盘与工程建议

• 误区一：只用测速法。低速段卷径抖动会直接传递到张力给定，造成带材松紧交替。应设置低速阈值并融合积分法。
• 误区二：厚度 h 长期不修正。卷材批次、张力、温度变化都会改变等效厚度，建议每卷结束后自学习一次 h_eff。
• 误区三：忽略卷芯直径误差。D0 标定偏差会作为固定偏置进入所有卷径计算，换卷时必须核对卷芯实际外径。
• 误区四：积分器无抗饱和。当卷径达到最大或最小限幅时，积分器应停止累积，否则退出限幅后会出现长时间错误输出。