3. SRM数学模型

开关磁阻电机（SRM）的双凸极结构与非线性磁路，决定了它不能像永磁同步电机那样用一组线性方程直接描述。要完成功率变换器与驱动设计，必须建立一套从电感特性出发，经磁链方程、电压方程，再到转矩方程与机械运动方程的完整数学模型。这套模型既是电流斩波、角度位置控制等策略的依据，也是变换器容量、母线电压与开关频率选型的出发点。

一、核心原理：从电感特性到相电压平衡

SRM 的相电感随转子位置角 θ 和相电流 i 变化，记作 L(θ, i)。由于磁路饱和，L 对 i 呈非线性；由于定转子凸极，L 对 θ 呈周期性变化，周期为一个转子极距。工程上常用三个特征位置描述：对齐位置（定转子凸极中心对齐，L 最大）、非对齐位置（凸极错开，L 最小）以及两者之间的中间位置。电感随 θ 上升的区间称为电感上升区，是产生正转矩的主要区间；下降区则产生制动转矩。

忽略相间互感时，单相磁链可写为 ψ(θ, i) = L(θ, i)·i。对相绕组回路应用法拉第电磁感应定律与基尔霍夫电压定律，得到单相电压方程：

u = R·i + dψ/dt
  = R·i + L(θ,i)·di/dt + i·(∂L/∂θ)·ω + i·(∂L/∂i)·di/dt

其中：u 为相电压，R 为相电阻，ω = dθ/dt 为转子角速度
     e = i·(∂L/∂θ)·ω 为旋转反电动势（运动电动势）
     L(θ,i)·di/dt 为变压器电动势（电流变化引起的感应项）

该式说明：相电压必须同时克服电阻压降、电流变化引起的感应项以及转子运动引起的反电动势。反电动势项 i·(∂L/∂θ)·ω 是 SRM 机电能量转换的核心，其符号由 ∂L/∂θ 决定——电感上升时为正，电感下降时为负。

二、转矩方程与机械运动方程

由磁共能 W′(θ, i) 对转子位置角求偏导，可得瞬时电磁转矩：

T_e = ∂W′(θ,i)/∂θ |_(i=常数)

在线性近似下 W′ = ½·L(θ)·i²，于是：
T_e ≈ ½·i²·dL/dθ

结论：转矩正比于相电流平方与电感对位置的变化率
      dL/dθ > 0 → 电动转矩；dL/dθ < 0 → 制动转矩

机械运动方程描述转矩与转速的关系：

J·dω/dt = T_e - T_L - B·ω

其中：J 为转动惯量，T_L 为负载转矩，B 为粘滞摩擦系数
     ω 为机械角速度，dθ/dt = ω

将电压方程、转矩方程与机械运动方程联立，即构成 SRM 的完整动态数学模型。它是一组以相电流 i 和转速 ω 为状态变量的非线性微分方程，非线性来源于 L(θ, i) 的饱和特性与 dL/dθ 的周期性。

三、方法流程：建模与仿真步骤

1. 获取电感特性：通过有限元计算或实测，得到 L(θ, i) 数据表，覆盖对齐、非对齐及中间位置。
2. 建立磁链模型：由 ψ = L(θ, i)·i 构造磁链曲面，必要时用解析拟合式（如傅里叶级数加饱和修正）表示。
3. 列写电压方程：按相绕组回路写出 u = R·i + dψ/dt，并展开为含 ∂L/∂θ 与 ∂L/∂i 的形式。
4. 计算电磁转矩：用磁共能偏导或 ½·i²·dL/dθ 近似求瞬时转矩。
5. 联立机械方程：将 T_e 代入 J·dω/dt = T_e − T_L − B·ω，与电压方程耦合求解。
6. 仿真验证：在 MATLAB/Simulink 或 PLECS 中搭建模型，对比实测电流波形与转速响应。

四、案例与场景：四相 8/6 极 SRM 参数关系

以一台四相 8/6 极 SRM 为例，转子极距为 60°机械角。设对齐电感 L_a = 80 mH，非对齐电感 L_u = 12 mH，相电阻 R = 0.8 Ω，转动惯量 J = 0.002 kg·m²。在电感上升区，dL/dθ 近似为 (L_a − L_u)/Δθ。若相电流为 10 A，则瞬时转矩约为 ½×10²×dL/dθ。下表给出关键参数与方程对应关系：

从表中可见，电感特性是全部方程的源头：L(θ, i) 决定磁链，磁链变化率决定电压方程中的感应项，电感对位置的偏导决定转矩，而转矩又通过机械方程影响转速，转速反过来改变反电动势。这种耦合关系正是 SRM 驱动设计必须迭代计算的原因。

五、复盘：模型在驱动设计中的用途

建立数学模型后，可直接服务于功率变换器设计：由电压方程估算所需母线电压与开关器件耐压；由转矩方程与机械方程确定电流斩波阈值与开通、关断角；由 dL/dθ 的符号判断电动与制动区间，从而规划换相逻辑。若仿真中电流上升过慢，说明母线电压不足或电感过大；若转矩脉动过大，则需调整换相角或采用多相重叠导通。模型越贴近实际 L(θ, i) 曲面，驱动参数的一次成功率越高。