3. 机器人建模基础
机器人系统辨识与仿真参数标定的前提，是建立一套能够精确描述机器人几何、运动与力学行为的数学模型。本章围绕刚体运动学、动力学建模、关节空间与笛卡尔空间描述，以及DH参数与旋量法两条主流建模路线展开，为后续参数辨识与标定提供统一的数学语言。
一、刚体运动学：位姿描述与坐标变换
刚体在三维空间中的状态由位置与姿态共同决定，合称位姿。位置用三维平移向量描述，姿态用旋转矩阵、欧拉角或四元数描述。旋转矩阵满足正交性与行列式为1的约束，是描述姿态最基础的工具。
相邻连杆之间的运动关系通过齐次变换矩阵统一表达：
T = [ R p ]
[ 0 1 ]
其中 R 为 3×3 旋转矩阵，p 为 3×1 平移向量。
T 同时包含旋转与平移，可连续相乘实现坐标链传递。齐次变换的链式相乘是机器人正运动学的核心：从基座到末端执行器，依次乘以各关节的变换矩阵，即可得到末端位姿。这一过程不依赖具体建模方法，是DH参数法与旋量法共同的基础。
二、关节空间与笛卡尔空间描述
机器人运动可以在两个空间中描述，二者通过正逆运动学相互映射。
- 关节空间：以各关节变量（转动角或移动距离）为坐标，维度等于自由度数。轨迹规划、伺服控制、参数辨识通常在此空间进行，因为关节变量可直接测量且无奇异问题。
- 笛卡尔空间：以末端执行器的位置与姿态为坐标，直观反映任务需求。路径规划、视觉伺服、力控多在此空间描述，但存在奇异位形与多解问题。
正运动学实现关节空间到笛卡尔空间的映射，逆运动学则相反。逆解可能不存在、唯一或不唯一，是标定与辨识中需要重点处理的环节。
三、动力学建模：从拉格朗日到牛顿-欧拉
动力学模型描述关节力矩与运动状态之间的关系，是参数辨识的核心对象。常用方法有两类：
- 拉格朗日法：基于能量函数推导，形式统一，便于理论分析，但计算量随自由度增长较快。
- 牛顿-欧拉法：基于力与力矩递推，计算效率高，适合实时控制与仿真。
标准动力学方程可写为：
τ = M(q)q̈ + C(q,q̇)q̇ + G(q) + F(q̇)
M(q) 惯性矩阵
C(q,q̇) 科氏力与离心力项
G(q) 重力项
F(q̇) 摩擦项其中惯性参数（质量、质心、惯量）与摩擦参数正是系统辨识要估计的对象。将方程对参数线性化，可得到辨识回归模型，这是后续章节的基础。
四、DH参数法与旋量法对比
建立连杆坐标系有两条主流路线：DH参数法与旋量法。二者都能完整描述机器人运动学，但表达方式与适用场景不同。
| 对比项 | DH参数法 | 旋量法 |
|---|---|---|
| 基本思想 | 相邻连杆间用四个参数描述 | 用螺旋轴与指数积描述整体运动 |
| 参数数量 | 每关节4个（a, α, d, θ） | 每关节一个螺旋轴（6维） |
| 坐标系依赖 | 强依赖连杆坐标系定义 | 仅依赖基座与末端坐标系 |
| 建模直观性 | 规则化，适合串联结构 | 几何意义清晰，适合复杂构型 |
| 标定友好度 | 参数物理意义明确，常用 | 参数连续性好，避免奇异 |
| 典型应用 | 工业机械臂建模与标定 | 并联、冗余、仿生机器人 |
DH参数法分为标准DH与改进DH，区别在于坐标系固连位置不同。改进DH在相邻关节间插入坐标系，使参数定义更统一，是现代标定中更常用的形式。
五、案例：两连杆机械臂建模流程
以平面两连杆机械臂为例，说明从几何描述到动力学模型的完整流程：
- 定义连杆长度 l₁、l₂，关节角 q₁、q₂。
- 建立DH参数表，写出各关节齐次变换矩阵。
- 链式相乘得到末端位置与姿态。
- 对时间求导得到雅可比矩阵，关联关节速度与末端速度。
- 代入拉格朗日方程，得到惯性矩阵、科氏项与重力项。
- 整理为线性参数形式，为辨识做准备。
末端位置：
x = l1*cos(q1) + l2*cos(q1+q2)
y = l1*sin(q1) + l2*sin(q1+q2)
雅可比矩阵 J：
J = [ -l1*sin(q1)-l2*sin(q1+q2) -l2*sin(q1+q2) ]
[ l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2) l2*cos(q1+q2) ]该案例虽简单，却完整覆盖了建模、运动学、动力学与参数化四个关键步骤，是理解复杂机器人建模的起点。
六、常见误区与复盘
建模阶段最常见的错误包括：DH参数表中坐标系定义不一致、旋转方向符号错误、关节零位与建模零位不匹配、忽略摩擦与柔性。这些问题在标定阶段会表现为残差偏大或参数不可辨识。
- 误区一：认为DH参数与旋量法结果不同。实际上二者描述同一物理系统，只是参数化方式不同，正确建模下末端位姿应一致。
- 误区二：忽略关节零位偏差。零位误差会直接进入运动学模型，是标定中必须估计的参数。
- 误区三：动力学建模时忽略摩擦项。摩擦在低速与换向时影响显著，缺失会导致辨识参数失真。
- 复盘建议：建模完成后，先用仿真验证正运动学与雅可比矩阵，再逐步引入动力学与摩擦项，分阶段验证可显著降低排错成本。